2.3 平面机构自由度
2.3.1 平面机构自由度的计算公式
如前所述，任一作平面运动的自由构件存在3个自由度。当两个构件组成运动副之后，它们之间的相对运动受到约束，相应的自由度数目减少。不同类型的运动副引入的约束数目不同；每个低副使构件失去两个自由度，即增加了两个约束；每个高副使构件失去一个自由度，即增加了一个约束。每一个平面构件的约束数目与自由度数目之和恒等于3。
如果一个平面机构有n个活动构件 (机架除外)，在未用运动副连接之前，这些活动构件的自由度总数为3n。当用运动副将构件连接起来组成机构后，机构中各构件具有的自由度数目则随之减少。PL表示机构中低副的数目，PH 表示高副的数目，则机构中全部运动副所引入的约束总数为2PL+PH。因此，整个机构的自由度F为
式 (2-1)便是平面机构自由度的计算公式。由公式可知，平面机构自由度F不但与活动构件的数目有关，而且与运动副的类型 (低副或高副)和数目有关。
2.3.2 机构具有确定运动的条件
机构自由度是指机构可能实现独立运动的数目。显然，机构要想运动，它的自由度必须大于0。由于每个原动件通常只具有一个自由度 (如电动机转子具有一个独立转动，内燃机活塞具有一个独立移动)，因此，只有当机构的自由度F等于该机构中的原动件数量W时，机构才不会随意乱动。换句话说，机构中各构件间具有确定相对运动的条件为
由于机构原动件的运动是由外界给定的，属已知条件，所以只需求出该机构的自由度，就可判断机构中各构件间的相对运动是否确定。
【例2-3】 试计算图2-10所示机构的自由度。
图2-10 铰链五杆机构
解 在图2-10所示的机构中，共有4个活动构件1、2、3、4，即n=4；A、B、C、D、E处各组成1个转动副，整个机构中无移动副，故低副总数目PL=5；整个机构中也没有高副，故PH=0。由式 (2-1)可得该机构的自由度F为
F=3n-2PL-PH=3×4-2×5-0=2
即该机构的自由度为2，说明该机构需要2个原动件，各构件间的相对运动才能确定。
若机构的自由度等于0时，说明机构中活动构件的自由度总数与运动副引入的约束总数相等，自由度全部被取消，各构件之间不可能存在任何相对运动，这种构件的组合称为静定的刚性结构。
例如，在图2-11(a)中，4个活动构件用6个转动副相连，其自由度为F=3n-2PL-PH=3×4-2×6=0，显然，它是一个静定的刚性结构。图2-11(b)所示的三角架，其自由度为F=3n-2PL-PH=3×2-2×3=0，它也是一个静定的刚性结构。而图2-11(c)所示的构件组合，其自由度为F=3n-2PL-PH=3×3-2×5=-1，说明约束过多，该构件的组合称为超静定的刚性结构。
图2-11 刚性结构
2.3.3 计算平面机构自由度时的注意事项
应用式 (2-1)计算平面机构的自由度时，对下述几种特殊情况必须加以注意。
1.复合铰链
两个以上的构件在同一处用转动副相连接，则该连接称为复合铰链。例如，图2-12(a)所示3个构件在B处即构成复合铰链。由图2-12(b)可知，构件3与4间、2与4间各组成一个转动副，即B处共有两个转动副。一般来说，若有K个构件用复合铰链相连接，则该处的转动副数目应等于 (K-1)个。在计算平面机构的自由度时，应特别注意是否存在复合铰链，并正确确定转动副的数目。
图2-12 复合铰链
下面举例说明。
【例2-4】 机构如图2-12(a)所示，试求该机构的自由度。
解 机构中有5个活动构件，即n=5。在A、B、C、D、E处共组成6个转动副和1个移动副，其中B点为复合铰链，有两个转动副，即PL=7，高副数目PH=0。由式 (2-1)可得该机构的自由度为
F=3n-2PL-PH=3×5-2×7-0=1
即此机构只有一个自由度，由于该机构的原动件数与其自由度数相等，故满足机构中各构件间具有确定相对运动的条件。
2.局部自由度
机构中常出现一种与整个机构运动无关的自由度，称为局部自由度或多余自由度，在计算平面机构自由度时应予除去。图2-13(a)所示的滚子从动件凸轮机构，当原动件凸轮2转动时，通过滚子3驱使从动件4以一定运动规律在机架1中作上下往复运动。不难看出，在这个机构中，不论滚子3绕其中心轴是否转动，都丝毫不会影响从动件4的运动。因此，滚子绕其中心轴的转动是一个局部自由度。为了在计算时去掉这个局部自由度，可设想将滚子3与从动件4焊成一体 (转动副也随之消失)，如图2-13 (b)所示。在图2-13 (b)中，n=2，PL=2，PH=1，则该机构的自由度为
图2-13 滚子从动件凸轮机构
F=3n-2PL-PH=3×2-2×2-1=1
虽然滚子3的局部自由度不影响整个机构的运动，但它可使高副接触处的滑动摩擦变成滚动摩擦，减少了磨损，所以在实际机械中常常会出现局部自由度的情况。
3.虚约束
在机构中，如某个约束与其他约束作用相同，而不起独立限制运动的作用，这种起重复约束作用的约束称为虚约束。在计算平面机构的自由度时，应当除去虚约束。
在图2-14(a)所示的机构中，构件AB、EF和CD均平行且相等，若不除去虚约束，该机构自由度F=3n-2PL-PH=3×4-2×6=0。按照计算的结果，认为图2-14(a)所示的机构是不能运动的，但实际上该机构能够产生运动，因为这里出现了虚约束。AB、EF和CD均平行且相等，构件EF和CD必然分别以F、D点为圆心作等同的圆周运动，即构件EF和CD对整个机构起着相同的约束作用，故构件5和转动副E、F引入的约束是虚约束，在计算机构自由度时，应当除去。除去虚约束之后，n=3，PL=4，PH=0，则该机构的自由度为F=3n-2PL-PH=3×3-2×4-0=1。
图2-14 虚约束比较
如果构件5不平行于构件1和3，如图2-14(b)所示，则EF杆是真实约束。在计算该机构的自由度时，必须考虑构件5及转动副E、F处的约束。
在机构中，虚约束常出现在下述几种情况下。
(1)两个构件组成多个移动副，且导路平行或重合时，只有一个移动副起约束作用，其余都是虚约束，如图2-15所示。
图2-15 虚约束示例 (一)
(2)两个构件组成多个转动副，且轴线重合时，只有一个转动副起约束作用，其余都为虚约束，如图2-16所示两个轴承支承一根轴，只能看作一个转动副。
图2-16 虚约束示例 (二)
(3)两个构件组成多个高副，且各高副接触点处公法线重合时，只考虑一处高副所引入的约束，其余都为虚约束，如图2-17所示。
图2-17 虚约束示例 (三)
(4)机构中对运动不起独立约束作用的对称部分，其对称部分可视为虚约束。如图2-18所示的行星轮系，采用两个完全相同的行星轮2、2′，并使它们的轮心均匀地分布在同一圆周上。实际上只需一个行星轮便可传递运动，其余行星轮的约束作用都是重复的，故是虚约束。此处采用两个完全相同的行星轮，其目的是为了改善构件的受力。
图2-18 虚约束示例 (四)
在实际机构中，虚约束虽对机构的运动不起约束作用，但它可以保证机构顺利运动，或增强构件的刚性或改善构件的受力。因此，虚约束的应用是相当广泛的。在计算机构自由度时，应认真分析机构中是否有虚约束，如有虚约束，应先除去，然后再进行计算。
【例2-5】 计算图2-19(a)所示机构的自由度。
图2-19 大筛机构
解 图2-19(a)所示的机构中共有7个活动构件，即n=7。在A、B、D、O、G处各组成1个转动副；C点为复合铰链，有两个转动副；顶杆与机架在E和E′处组成两个导路平行的移动副，其中之一为虚约束，除去移动副E′，故在E、G处各组成1个移动副；另滚子F有一个局部自由度，应予除去。经处理后，原机构可简化为图2-19 (b)所示的机构，该机构中低副总数PL=9(7个转动副和2个移动副)，高副数目PH=1。由式 (2-1)可得该机构的自由度为
F=3n-2PL-PH=3×7-2×9-1=2
此机构的自由度为2，需要2个原动件。