4.2 时间价值的计算

4.2.1 单利和复利

利息的计算有单利和复利两种方法。单利是指在规定期限内只就本金计算利息，每期的利息收入在下一期不作为本金，不产生新的利息收入。例如，本金为100元、年利息率为10%的三年期单利定期存款，三年后的利息收入为30元，每年只产生价值本金10%的利息收入。

复利，又称利滚利，是指每期的利息收入在下一期进行投资，产生新的利息收入。下一期的利息收入由前一期的本利和共同生成。比如，一张面值1000元、年利息率为10%、期限3年的复利债券，第一年年底的价值为1000×1.10=1100元，第二年年底的价值为1000×1.102=1210元，第三年年底的价值为1000×1.103=1331元。

复利的概念非常重要，它充分体现了资金的时间价值的意义。投资者一旦掌握了可供使用的资金，应尽快将其投入到合适的使用方向，以获取新的收益。如果不能及时使用，将会造成资金的浪费。在讨论资金的时间价值时，一般都采用复利的概念。

4.2.2 终值的计算

终值又称将来值，是指现在的一笔资金在未来一段时间后所具有的价值。比如，100元以每年10%的收益率进行投资，1年后的价值为100×（1 +10%）=110元。

当投资期是2期、3期乃至n期时，如果按照单利计算，终值的公式可以表示为：

式中：FVn表示终值；PV表示现值；r表示利息率；n表示计息期数。

比如，3年期年利息率为3%的单利存款3年后的终值为：

FV3=100×（1+3%×3）=109（元）

多期投资按复利计算终值的公式为：

式中各项符号的意义与（4-1）式中相同。

例4-1 某人购入面值1000元复利债券一张，利息率为6%，期限为5年，其5年后的终值为：

FVn=1000×（1+6%）5=1000×1.3382=1338.2（元）

（4-2）式中的（1+r）n称为复利终值系数，又可记做FVIFr, n。为方便计算，人们编制了复利终值系数表（附录2.1），需要时可在表上直接查出相应的终值系数。如前例中的复利终值系数FVIF6%,5，即可在表4-1中查到。

表4-1 复利终值系数表（1元在n期期末的终值）

前面讨论的投资是一次性的，下面我们讨论投资者在一段时间内多次进行投资时的终值的计算。

假设某人计划现在在银行存入100元人民币，一年后再存入200元，若存款年利率为2%，那么两年后他将得到多少收入呢？显然，第一年年底，他将得到100×（1+2%）=102元，加上再次存入的200元，共计302元。这302元再存一年，将得到302×（1+2%）=308.04元。上述分析可用图4-2表示如下：

根据图4-2，两年后的收益的计算公式为：

FV2=100×1.0404 +200×1.02

=308.04（元）

显然，多次现金流量的终值就是各单次现金流量终值之和，一般说来，次数为n，各次现金流量为CFt，利息率为r的多次现金流量的终值计算如图4-3所示：

计算公式为：

例4-2 设利息率为10%，计算图4-4现金流量的终值。

解 根据（4-3）式，

FV4=100×1.103+200×1.102+300×1.101+400×1.100=1105.10（元）

4.2.3 现值的计算

现值是指未来的现金收入或支出现在的价值。比如，1年后收到102元钱，按照2%的收益率计算，其现在的价值是：

PV=102/1.02=100（元）

道理非常简单，因为现在的100元用于投资，1年内可以获得2%的收益，1年后将变为102元。所以，1年后的102元，现在的价值就是100元。

如果未来的现金流量是发生在多期以后的，其复利现值的计算公式可由多期复利的终值计算公式（4-2）式导出：

（4-2）式为：FVn=PV（1+r）n

将PV移到左侧，FVn移到右侧，有：

式中叫做复利的现值系数或贴现系数，可以简计为PVIFr, n, r为贴现率。这一由终值求现值的过程称为贴现。

例4-3 某人计划5年后得到3000元钱，已知年利息率为4%，按复利计息，问该人现在应存入多少钱？

解 由现值计算公式（4-4）式，有：

与复利终值系数相同，复利现值系数也有表可查（附录2.2），表4-2是其简表，表中加方框者即为现值系数PVIF4%,5的数值0.8219。

与求终值时类似，计算现值时未来的现金流量也可以多次发生。当未来不同时期均有现金流量发生时，这种多期多次现金流量的现值就是各期单次现金流量的现值之和，如图4-5所示。

计算公式为：

式中：PV表示现值；CFt表示t期现金流量；r表示贴现率；n表示计息期数。

例4-4 设贴现率r=10%，计算图4-6所示的现金流量的现值。

解