2.2 公平席位分配方案

某学院有3个系共200名学生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，现要选出20名学生代表组成学生会。如果按学生人数的比例分配席位，那么甲、乙、丙系分别占10、6、4个席位，这当然没有什么问题（即公平）。

但是若按学生人数的比例分配的席位数不是整数，就会带来一些麻烦。比如甲系103人，乙系63人，丙系34人，怎么分？下表按“比例”来分配20和21个席位，你认为这样分配公平吗？

解题思路

按照“比例”分配20个席位：甲、乙、丙三系分别得到10.3、6.3、3.4席，舍去小数部分后分别得到10、6、3席，剩下的1席分给“损失”最大（即小数部分最大）的丙系，于是三个系仍分别占10、6、4席。按照“比例”分配21个席位：甲、乙、丙三系分别得到10.815、6.615、3.570席，舍去小数部分后分别得到10、6、3席，剩下的2席分给“损失”最大（即小数部分最大）的甲系和乙系，于是三个系分别占11、7、3席。这样的分配是不公平的，至少对丙系而言是不公平的！因为席位增加了，而丙系得到的席位反而减少了。

先就A、B两方席位分配情况加以说明。设A、B两方人数分别为p1、p2，占有席位分别为n1、n2，则p1/n1与p2/n2表示两方每个席位所代表的人数。显然只有当p1/n1=p2/n2时，席位分配才是公平的。但是，由于人数和席位都是整数，通常两者是不等的，这时席位分配不公平。

不妨p1/n1＞p2/n2，即分配对A方是不公平，直观的想法是用数值p1/n1-p2/n2表示对A的绝对不公平值，但绝对不公平值往往难以区分不公平程度。所以，绝对不公平值不是一个好的衡量指标。为了改善上述绝对标准，因此引入相对标准。

若p1/n1＞p2/n2，则称rA（n1, n2）=（p1/n1-p2/n2）/（p2/n2）=（p1n2）/（p2n1）-1为对A的相对不公平值；若p1/n1＜p2/n2，则称rB（n1, n2）=（p2/n2-p1/n1）/（p1/n1）=（p2n1）/（p1n2）-1为对B的相对不公平值。建立了衡量分配不公平程度的数量指标后，制订席位分配方案的原则是使它们尽可能小。

假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位，利用不公平值来确定，当总席位增加1席时，应该分配给A方还是B方。不失一般性，设p1/n1＞p2/n2，即对A不公平。当再增加一个席位时，有下列三种情形：

（1）p1/（n1+1）＞p2/n2，这表明即使A方再增加1席，仍对A不公平，所以这1席显然应分给A方；

（2）p1/（n1+1）＜p2/n2，这表明A方增加1席时，将对B不公平，此时对B的相对不公平值为：rB（n1+1, n2）=[p2（n1+1）]/（p1n2）-1；

（3）p1/n1＞p2/（n2+1），这表明B方增加1席时，将对A更不公平，此时对A的相对不公平值为：rA（n1, n2+1）=[（n2+1）p1]/（p2n1）-1。

按照公平分配席位的原则，即使得相对不公平值尽可能小。所以如果rB（n1+1, n2）＜rA（n1, n2+1），则这一席应给A方；反之，则应给B方。根据上述确定的分配方案，可对其进行简化。注意到rB（n1+1, n2）＜rA（n1, n2+1）等价于：。

并且不难证明，情形（1）也可推得此式。于是得到结论：当上式成立时，增加的1席应分给A方；反之，应分给B方。若记，则增加的1席应分配给Q值较大的一方。这种席位分配方法称为Q值法。上述Q值法还可以推广到m 方的情况：计算Qi=，则这一席位应分配给Q值最大的一方。

下面按照Q值法对甲、乙、丙三系的21个席位重新计算。先算比例再取整，可得n1=10, n2=6, n3=3，已占取19个席位。现讨论第20和21个席位归于何方：

可以将这个例子进行扩展，形成更为一般的情况：某校共有m个系，第i系学生数为ni （i=1,2, …, m），校学生会共设N个席位。怎样才能公平地把这些席位分配给各系？

显然，m与ni（i=1,2, …，m）应为正整数，全校学生数记为。假设每个系至少应分得一个席位（否则把其剔除），至多分得ni（i=1,2, …, m）个席位，m≤N＜n。对于全校而言，每个席位代表的学生数为a=n/N。第i系按学生数比例应分得的席位数为αi=ni/n×N=ni/a。第i系实际分得的席位数为Ni，第i系每个席位代表的学生数可以表示为ai=ni/Ni。通过分析可以认为：ai 越大的系，损失也就越大。因此，需要尽量照顾ai 越小的系或者认为各系ai 应该尽量接近。故可提出如下各种“公平性”标准：

标准 1：要求z=maxai 最小，即损失最大的系损失尽量小。

标准2：要求最小，即各系的损失应该尽量接近。

标准3：要求z=minai 最小，即损失最小的系损失尽量小。

标准4：要求最小，即各系的损失应该尽量接近。

针对不同的标准，可以建立不同的模型。下面仅针对标准1进行建模讨论。

ai取整后，每席代表的学生数为。其中，βi={αi}/[αi]，称为判别数；{αi}表示αi的小数部分。βi越大的系就越吃亏，按照标准1应该被优先照顾。

分配方法的算法流程如下，其中。

当N=21、n=200时，运用标准1进行如下计算，得到席位分配表如表2-3所示：

【思考题】 本节给出了两种不同方法的席位分配模型，请讨论哪种模型更加公平，是否存在其他席位分配？