2.4 货物存储模型

配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。

解题思路

本题要求建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。每天费用5000元，日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元，平均每天费用950元。10天生产一次，每次1000件，贮存费4500元，准备费5000元，总计9500元。50天生产一次，每次5000件，贮存费122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用2550元。

当周期短时，产量小而贮存费少，需要准备费多；当周期长时，产量大而准备费少，需要贮存费多。因此，存在最佳的周期和产量，使总费用（两者之和）最小。这是一个优化问题，关键是建立目标函数。显然，不能用一个周期的总费用作为目标函数，T天为一个生产周期，每次生产Q件。当贮存量为零时，Q件产品立即到来。贮存量可以表示为时间的函数q（t）, q（0）=Q。q（t）以需求速率r递减，r为产品每天的需求量，q（T）=0。每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2；一个周期贮存费为，一个周期总费用：=c1+c2QT/2=c1+c2rT2/2。每天总费用平均值：。

为求最佳的生产周期T使得C（T）达到最小值，可以对C（T）进行求导：

当贮存量降到零时仍然有需求r，出现缺货，造成损失。上述不允许缺货模型假设：贮存量降到零时Q件可以立即生产出来。现假设：当允许缺货时，每天每件缺货损失费c3，缺货需补足。当t=T1时，贮存量降到零。一个周期内贮存费为，一个周期所需缺货费为，一个周期内所需总费用为。因此，每天所需总费用平均值为。

为求最佳的生产周期T和生产量Q使得C（T, Q）达到最小值，可以对C（T, Q）进行求偏导：