习题1

1.求下列函数的定义域：

2.判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明原因.

（3）y=2lgx与y=lgx2；　　（4）y=sin2x+cos2x与y=1；

3.指出下列函数的复合过程：

（5）y=xsinxlnx；　　（6）y=lnsin2x.

4.判断下列数列的敛散性，若收敛，求其极限.

5.求下列极限：

6.已知，求常数a，b.

7.设

求：（1） ；

（2）f（g（x）），.

8.求下列极限：

9.设a1=10，，试证数列{an}极限存在，并求此极限.

10.证明

11.设函数

讨论函数f（x）在点x=0处极限是否存在.

12.证明无穷小的等价关系具有下列性质：

（1）α～α（自反性）；

（2）若α～β，则β～α（对称性）；

（3）若α～β，β～γ，则α～γ（传递性）.

13.求下列极限：

14.当x→0时，（tanx-sinx）与xk是同阶无穷小，求k值.

15.求函数

在分段点处的极限.

16.求

17.确定常数a，b，使.

18.已知为有限数l，求常数a，l.

19.已知

20.设.

21.已知，求常数a.

22.求下列函数的间断点，并判断其类型：

23.设函数，求函数f（x）的间断点，并指出类型.

24.讨论函数

在点x=0处的连续性.

25.设函数

确定常数a，b，使得f（x）在点x=0处连续.

26.（1）设，证明，并问其逆是否成立？

（2）设f（x）在点x0连续，证明|f（x）|在点x0连续，并问其逆是否成立？

27.求函数，并确定常数a，b使函数f（x）在点x=-1，与x=1处连续.

28.证明方程x·2x=1至少有一个小于1的正根.

29.设函数f（x）在[a，b]上连续，且f（a）>a，f（b）<b，试证在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=ξ.

30.设函数f（x）在[a，b]上连续，且a<c<d<b，证明：

（1）存在一个ξ∈（a，b），使得f（c）+f（d）=2f（ξ）；

（2）存在一个ξ∈（a，b），使得mf（c）+nf（d）=（m+n）f（ξ）.

31.求证：方程ex+e-x=4+cosx在（-∞，+∞）内恰有两个根.