3.3 资本积累与经济增长

为了回答上面的问题，并探讨经济体的长期供给曲线不断向右平移背后的经济学故事，我们要讲述索罗模型（Solow Model），这个模型现在已成为现代经济增长理论的基准模型。索罗模型源于索罗1953年发表的一篇关于经济增长的论文：《对经济增长理论的一个贡献》（Solow, R., “A Contribution to the Theory of Economic Growth,” Quarterly Journal of Economics，1956,70, pp.65-94）。正是这篇论文为索罗赢得了1987年度诺贝尔经济学奖。

索罗模型旨在说明，在一个经济体中，资本、劳动和技术进步等如何相互作用，及其对产出的影响。我们将分三步讲述索罗模型：（1）考察经济体中的产品供求如何决定资本积累；（2）考察经济体中的经济增长；（3）考察储蓄率的变动等对经济增长的影响。

索罗模型中的生产

假设世界上的每一个经济体只生产和消费同一种商品。这种假定也许有点费解，这个世界怎么会只有一种商品呢？不妨认为这种商品就是国内生产总值（GDP）。国内生产总值既可用于消费，又可用于投资、生产，还便于利用观察数据检验模型。

该假设隐含着经济体间不存在贸易交换，即经济体是封闭的。原因很简单，由于只存在同一种商品，各个经济体之间的交换可能毫无意义。比如班级就是我们要考察的一个世界，每个同学就是一个经济体，每个人都有一个相同的苹果，难道你会拿你的苹果换取其他同学同样的苹果吗？这种交换显然没有什么意义。

在索罗模型中，经济体采用我们非常熟悉的柯布-道格拉斯生产函数（简称C-D生产函数）进行生产。C-D生产函数是经济分析中广泛使用的生产函数，其函数形式为：

其中，K、L和Y分别为资本、劳动和产出。α（0≤α≤1）是参数，表示资本产出弹性或资本所得在国民收入中所占份额；（1-α）是劳动产出弹性或劳动所得的份额。C-D生产函数至少具有如下两个性质：

1．要素边际生产率递减，即当其他条件不变时，资本边际产出和劳动边际产出随着资本和劳动投入的增加而增加，但增加量越来越小。即

2．规模报酬不变，即如果投入的资本和劳动都增加一倍，产出也增加一倍。

考虑到规模经济在经济增长理论中的地位，我们有必要停下来介绍一下规模经济。规模经济度量所有生产要素投入按相同比例变动对产出带来的影响。如果F（λK, λL）=λY，对任意正常数λ都成立，则生产函数规模报酬不变；如果F（λK, λL）＞λY（λ＞1），则规模报酬递增；若F（λK, λL）＜λY（λ＞1），则规模报酬递减。

在经济增长分析中，我们最感兴趣的是人均量或劳均量。既然λ可以取任意正常数，那么不妨假定λ=1/L，代入F（λK, λL）=λY，得：

记y=Y/L，表示每个劳动力的产出水平，即劳均产出；k=K/L，表示劳均资本。上式可以简化为：

公式（3—2）刻画了经济体里的劳均产出情况。如图3-8所示，随着劳均资本存量的增加，劳均资本边际产出也不断增加，但增加量越来越小。

有两点需要说明，一是假定经济体里的人口增长速度是常数n，劳动参与率也是常数，即劳动力与总人口的比例是一常数。这时，劳动力增长率恰好等于n。另一点是为了突出资本在经济增长中的作用，在本章我们忽略了技术进步。

当然，这些假设与现实有一定的差距，在后面的分析中我们将会逐步放松这些假设。但是在这一部分，它们对索罗模型的建立却起着非常重要的作用。其实，许多经济学理论创建、发展的过程就是，首先研究简化的经济体如何运行，然后逐步放松假设条件，研究经济体如何运行。

索罗模型中的收入分配

在考察消费之前，我们先考察经济体的收入分配。因为没有收入，就谈不上消费。

在经济体里，居民有两个主要的收入来源：一个是工资收入，在劳动市场上，居民提供劳动力，获得工资；另一个是利息收入。在封闭经济体里，居民的储蓄量等于投资量，也等于资本积累量。因此，居民把资本租赁给公司用于生产，获得利息收入。

在竞争性市场上，厂商、居民都是价格接受者。为了分析方便，我们把产出的价格单位化。厂商追求利润最大化，面临的问题就可以表示为：

其中，w、r分别是工资和利息率。显然，厂商为实现利润最大化，将不断增加资本和劳动的投入，直到生产要素的边际产出等于其价格，即

因此，在经济体里，居民总收入就是rK+wL。可以验证rK+wL=Y，即总收入等于总产出Y。这表明，按边际要素生产率进行分配，恰好能够把总产出分净，厂商的经济利润为零。另外，还可以验证，资本所得和劳动所得在国民经济收入分配中所占比重分别为α和（1-α），即

索罗模型中的消费和储蓄

有了收入，我们就可以消费。比如你有100元收入，多少用来消费？全部用来消费，还是只消费80元，或者消费120元（寅吃卯粮，透支下个月的收入）？

为了简单起见，不妨假定经济活动主体的消费行为是一样的，按照收入的固定比例，比如（1-s），来消费，即

C=（1-s）Y

其中，0≤s≤1。这么规定意味着，经济活动主体可以把收入全部用来消费，或把部分收入用来消费，但不可能出现消费超过收入的情况。

有了经济活动主体的消费，自然就可以表示出总储蓄S，即

S=Y-C=sY

通过上式，我们很容易发现，s其实就是储蓄率。

索罗模型中的投资

由以上分析可知，索罗模型所构造的是一个没有政府、没有外贸部门的两部门经济。两部门经济均衡的条件是储蓄等于投资，即

I=S

我们已经讨论了总储蓄，S=sY。下面重点考察投资I的构成。

经济体在每一时点上的净投资，就是资本存量的改变量，即资本的时间导数。在经济增长理论中，通常用变量上面加一点表示某一变量的时间导数。资本存在折旧，我们用δK表示资本折旧。其中，δ是折旧率，是与产量无关的一个常数。比如δ= 10%，则表示每年将有10%的资本折旧。因此，经济体的总投资就可以表示为：

I=.K+δK

把储蓄和投资的表达式代入I=S，整理得：

这是索罗模型中的核心方程，通常称为总量资本积累方程。公式（3—3）的意思其实就是：资本存量的改变量等于总投资减去折旧，经济含义非常直观，甚至就是一个恒等式。

在公式（3—3）中，我们采用总量表示的资本积累，下面将采用劳均量表示。在经济增长理论中，经常会碰到类似的问题。因此，分以下四步详细推导：

1．定义人均量或劳均量。具体而言，我们要定义劳均资本存量，即

2．等式两边取自然对数。这时，劳均资本就可以表示为：

lnk=lnK-lnL

3．等式两边分别对时间求导，得：

4．整理得到劳均量的表达式。代入公式（3—3），整理得：

在以上四步中，第二步、第三步比较关键，通常概括为“两边取自然对数然后对时间求导”。这种取自然对数然后对时间求导的方法是计算增长速度常用的方法，我们在讲述如何计算平均增长速度时已经运用了该方法。

与总量资本积累方程相比，劳均资本积累方程新增加了一项（nk），表示由于人口增长而减少的劳均资本。这一点并不难理解，由于每一期的劳动力数量比上一期增加nL。显然，当其他条件不变时，劳均资本必然会随着劳动力数量的增加而减少，减少量为nk。

小结

经济体的总收入等于总产出；储蓄率s决定了总收入在消费与储蓄之间的配置；当经济均衡时，总投资等于总储蓄。图3-9说明了，对任何一个劳均资本存量k，劳均收入是如何由生产函数决定的，以及这一收入是如何在消费和投资之间配置的。

索罗模型中的经济增长

到目前为止，我们已经考察了经济体的生产、收入、消费以及投资，现在可以分析经济体的经济增长了。

我们已经推导了索罗模型中两个用劳均量表示的核心方程：

显然，这两个核心方程可整理为：

公式（3—4）可谓索罗模型核心方程的核心，本节主要围绕公式（3—4）展开。首先，考察在索罗经济体中劳均资本存量的长期增长。

我们用索罗图考察劳均资本的长期增长，如图3-10所示。索罗图包含两条曲线，分别表示以劳均资本k为自变量的两个函数。一条曲线用于描述劳均储蓄量skα，它与图3-8中生产函数的形状相同，只是被向下压缩了一些。另一条曲线（n+δ）k表示资本损耗和劳动力数量增加对劳均资本的稀释，从另外一种角度看，该曲线的经济含义就是：为保持劳均资本不变，需要追加的人均投资量。显然，这两条曲线之间的部分就是劳均资本的改变量或者是劳均资本积累量．k。从图形上看，劳均资本积累量．k大致有三种可能性：

这似乎表明，随着时间的推移，资本可能呈现出三种变化，果真如此吗？下面我们将分两种情况讨论。

1．经济体的初始劳均资本量如图3-10中的k1所示。这时，随着时间的推移，k会怎样变化？在k1处，劳均积累量大于为保持劳均资本不变所必需的积累量，即。这意味着，随着时间的推移，劳均资本存量k将不断增加。从图形上看，这种劳均资本增加的过程会一直持续下去，直到劳均资本存量足够大，等于k*时为止。在该点，劳均资本存量保持不变。

2．经济体的初始劳均资本量如图3-10中的k2所示。在这种情况下，劳均资本存量最终会减少到k*吗？不妨按照同样的逻辑进行分析。在k2点处，劳均积累量小于为保持劳均资本不变所必需的积累量，即。结果，随着时间的推移，劳均资本存量k不断减少。这一过程也会一直持续到k*处。在该点，劳均资本存量保持不变。

以上分析表明，无论经济体的初始劳均资本存量是多少，最终都会收敛到k*。从此，，劳均资本存量保持不变。因此，我们把该点称为稳定状态（steady state），即图3-10中的E点。

既然经济体最终都会收敛到稳定状态，那么我们就重点考察经济体处于稳定状态的经济增长。在经济增长理论中，处于稳定状态的经济增长称为长期经济增长；从初始状态向稳定状态收敛过程中的经济增长，称为短期经济增长。

当经济处于稳定状态时，，由公式（3—4）和公式（3—2）可得劳均产出（收入）的表达式，即

你现在也许有点吃惊：在稳定状态下，劳均收入水平竟然是一个常数！不存在经济增长！如图3-11所示。

在图3-11中，左右两幅图的横轴表示时间，并把经济体收敛到稳定状态的时刻记为零时刻。左图描述的是，随着时间的推移，稳定状态劳均收入水平的变动情况，从图形上看，劳均收入水平保持不变。相应地，稳定状态劳均收入的增长速度等于零。这表明，仅靠物质资本积累，并不能够实现长期经济增长。

索罗模型的结论是否与你对周围世界的观察相符？比如说，在中国你经常观察到，几乎各级政府都强调投资拉动经济增长。如果物质资本投资不能够带来经济增长，那么为什么还强调投资？如果你有这样的困惑，不妨再回忆一下我们对长期经济增长和短期经济增长的划分。到目前为止，索罗模型的结论是：物质资本积累并不能够带来长期经济增长，没有提及物质资本是否能够带来短期经济增长。

现在我们考察物质资本积累能否带来短期经济增长，将分以下三步进行：

1．寻找劳均资本与其增长速度之间的关系。为了更加直观地描述物质资本积累与增长速度之间的关系，在公式（3—4）两边同时除以k，则得：

由于就是劳均资本k增长速度的定义，我们不妨记为gk。因此，上式可以把劳均资本增长速度gk表示为劳均资本k的函数，即

2．寻找劳均资本增长速度与劳均产出增长速度之间的关系。公式（3—2）描述的生产函数反映了劳均资本k与劳均产出y之间的投入产出关系，公式（3—2）两边取自然对数，然后对时间求导，可得：

其中，gy就是劳均产出的增长速度。现在，你也许已经体会到“两边取自然对数然后对时间求导”的魔力了。

3．寻找劳均产出增长速度gy与劳均资本k之间的关系。把公式（3—6）代入公式（3—7），可得：

公式（3—8）揭示了劳均产出增长速度是劳均资本的减函数，如图3-12所示。

在图3-12中，横轴表示劳均资本，黑色曲线是劳均产出的增长速度；灰色曲线是劳均资本的增长速度。初始时刻，经济体的劳均资本存量为k1，这时劳均资本的增长速度为灰色曲线上相应的点到水平轴的距离，显然大于零，即劳均资本存量会不断增加，一直增加到稳定状态的[s/（n+δ）]1/（1-α）。显然，这与图3-10所传递的信息是一致的。

同理，劳均产出也存在短期经济增长。当劳均资本为k1时，劳均产出的增长速度gy为黑色曲线，显然也是大于零的。这表明，当经济体还没有收敛到稳定状态时，劳均资本是可以带来经济增长的。由于劳均产出增长速度是向右下方倾斜的，随着劳均资本k从k1一直增加到稳定状态的[s/（n+δ）]1/（1-α），劳均产出的增长速度将会逐渐下降为零。

小结：资本在经济增长中的作用

无论经济体初始时刻的劳均资本是高还是低，经济体最终都会收敛到稳定状态，从此保持不变；

资本积累不能够带来长期经济增长，但可以带来短期经济增长，尽管短期增长速度会递减到零。