1.5 全概率法则：英超冠军争夺战

现代足球的百年历史画卷上留下过很多“草根逆袭”的神话，“70后”会追忆1992年欧洲杯的“丹麦童话”，“80后”依稀记得2004年欧洲杯的“希腊神话”，我倒觉得，像欧洲杯这样的淘汰赛具有很大的偶然性。真正有实力的黑马当属1997—1998赛季的凯泽斯劳滕队，他们在升级到甲级联赛的第一个赛季就力压德甲霸主拜仁慕尼黑，获得了联赛冠军，在当时被认为“难后有来者”。然而，总有人要挑战不可能，来自英超联赛的小球会莱斯特城队很可能重演草根逆袭的神话。

莱斯特城队的逆袭

2015—2016赛季的英超联赛，可谓翻天覆地，有一句话能最贴切的描述英超的现状——本想保级的队伍现在在争冠，本想争冠的队伍现在在保级，只有阿森纳实现了“争四”的目标。我们就来一起聊聊那支“本想保级，却在争冠”的队伍——莱斯特城队。

莱斯特是英格兰中部的一座城市，位于伦敦西北156公里，人口约32万。莱斯特城足球俱乐部成立于1884年，绰号“狐狸”，他们于1890年加入英格兰足球协会，在中部地区联赛里混迹了三年后，他们于1894年夺得亚军，获得了参加全国乙级联赛的资格。1908年，莱斯特城队获得乙级联赛亚军，终于升入甲级联赛，然而，由于实力不济，他们很快便降级了。此后的多年，他们一直在甲级联赛和乙级联赛中徘徊，成绩不温不火。上赛季，他们从英甲联赛升入英超联赛，勉强完成了保级任务，留在了英超。夏季休赛期，时任莱斯特城主帅的皮尔逊因为儿子在泰国曝出性丑闻，被球队的泰国老板愤而解职。随后，他们请来了老帅拉涅利。

拉涅利，意大利人，绰号“补锅匠”，执教履历丰富，执教风格保守。“当我和球队谈话时，我发现他们害怕意大利战术，他们看起来不怎么相信我，我自己也是。”在近日的采访中，拉涅利谈起了刚接手莱斯特城队时的情景，“我认为一个教练最重要的是围绕自己球员的特点构建球队，所以我对球员们说，我信任你们，我不会多说战术的事。英国的比赛强度超高，几乎能把球员榨干，他们需要时间恢复。我要确保球员们每周有两天完全与足球无关，这是我在第一天就对他们强调的，这是一种信任。”

正如拉涅利所说，他对球队充分信任。拉涅利上任后，基本保留了球队的原班人马，包括助理教练团队。这使得球队很快度过了磨合期，球员们也踢的更自信。正是主帅的信任和球员的自信让莱斯特城队踢出了十分高效的足球，他们一路过关斩将，踢的霸气十足。曾经的英超五强中，只有阿森纳队在勉强追赶莱斯特城队，然而，圣诞节过后，“争四魔咒”再度降临，温格的球队无可挽回的滑向第4名，莱斯特城队却依旧坚挺。

“英超赛季快过半了，占据积分榜头名的是一支叫莱斯特城的球队。一年前的圣诞节，他们排名垫底，濒临降级。”面对媒体的赞扬、调侃或者质疑，莱斯特城队的教练和队员始终在强调：“我们的目标是取得40个以上的积分，确保保级成功。”

莱斯特城队的低调务实不是没有理由的，从勉强保级，到争夺冠军，更何况是在竞争激烈的英超联赛，这实在是天方夜谭。然而，在刚结束的英超第31轮，莱斯特城队1∶0小胜水晶宫队，将自己的领先优势保持在5分，随着联赛轮数逐渐减少，这样的优势促使莱斯特城队的夺冠概率变得越来越大。比赛中，莱斯特城队球迷已经在看台上高唱起“我们将要赢得英超冠军”的口号。其实，无论莱斯特城队能否最终夺冠，我们都在内心深处成了莱斯特城队的球迷，正如老帅拉涅利所说：“莱斯特能夺冠吗？我不知道，但能被问到这个问题就足够美妙了。在这个金钱衡量一切的时代，我们给了每个人希望。”

莱斯特城队的夺冠概率

假如我们都是莱斯特城队的球迷，我们一定特别想知道，莱斯特城队夺冠的概率到底有多少。表1-2是英超联赛截至第31轮的积分榜，表1-3是莱斯特城队未来赛程。

莱斯特城队能否夺冠不仅与自身的比赛结果有关。还与其他球队的比赛结果有关，因此，我们需要分不同的情况来讨论，然后把这几种情况所求的概率相加，才能得到莱斯特城队夺冠的概率，这就要用到概率论中的“全概率公式”。

设随机试验E共有n种可能的结果A1, A2, …, An，这些结果两两不可能同时出现，那么，任一随机事件B的概率满足：

P（B）=P（B|A1）·P（A1）+P（B|A2）·P（A2）+…+

P（B|An）·P（An）

这就是全概率公式。它隐含的思想正是我们在数学课上常用的“分情况讨论”，只不过，这里要求我们一定要把所有情况都列举全，而且不同的情况之间不能有交叉重叠。

在莱斯特城队登场前，我们先来热身一下。

请问，抛掷一枚硬币两次，出现至少一次正面的概率是多少？

有些读者会马上想到计算两次都是反面的概率，然后用1减去这个概率，这是个很聪明的想法，但在这里，我们要对全概率公式进行刻意练习。设

随机事件A1：第一次抛硬币出现正面；

随机事件A2：第一次抛硬币出现反面；

随机事件B1：第二次抛硬币出现正面；

随机事件B2：第二次抛硬币出现反面；

随机事件C：两次至少出现一次正面。

根据全概率公式：

P（C）=P（C|A1）·P（A1）+P（C|A2）·P（A2）

=1·P（A1）+P（B1）·P（A2）=1×1/2+1/2×1/2

=3/4

至少出现一次正面的概率是3/4。

接下来，我们就用全概率公式来算一算莱斯特城队夺冠的概率。为了简化计算过程，我们仅用积分来度量莱斯特城队夺冠的可能性。过去17个赛季，英超冠军的最低积分为79分，2000年之后，英超冠军的平均积分更是高达87.5分，就本赛季目前的积分情况，“低分冠军”似乎已成定局。虽然莱斯特城队现在领先优势不小，但是，“永远不要低估一颗冠军的心”，那些苦苦追赶的队伍有可能在最后7轮变身疯狂的抢分机器。因此，老帅拉涅利为球队定下了79分的目标，他认为，如果莱斯特城队在赛季结束时的积分能够达到甚至超过79分，便一定能夺冠。我们也以79分为标准，来计算莱斯特城队夺冠的概率。

莱斯特城队夺冠的概率等价于莱斯特城队获得不低于79分的概率。31轮过后，莱斯特城队积66分，距离79分还有13分。设

随机事件A：莱斯特城队获得至少13个积分。

根据全概率公式：

P（A）=P（A|莱斯特城第32轮取胜）·P（莱斯特城第32轮取胜）+

P（A|莱斯特城第32轮打平）·P（莱斯特城第32轮打平）+

P（A|莱斯特城第32轮告负）·P（莱斯特城第32轮告负）

=P（莱斯特城后6轮取得至少10分）·P（莱斯特城第32轮取胜）+

P（莱斯特城后6轮取得至少12分）·P（莱斯特城第32轮打平）+

P（莱斯特城后6轮取得至少13分）·P（莱斯特城第32轮告负）

然后，我们还可以用全概率公式来计算P（莱斯特城后6轮取得至少10分）、P（莱斯特城后6轮取得至少12分）和P（莱斯特城后6轮取得至少13分），按照同样的思路继续分解下去，直到最后一轮比赛。对于每一场比赛，我们要估计出莱斯特城队获胜的概率，然后将这些概率代入全概率公式中，便可以求得P（A）。

我知道，我食言了，我没有算出莱斯特城队的夺冠概率，其实，我本就没打算真正去计算这个概率，毕竟，我们已经学习到了全概率公式的用法，这就足够了，至于莱斯特城队能否夺冠，我们只需要重温老帅拉涅利的那句话就可以了——“莱斯特能夺冠吗？我不知道，但能被问这个问题就足够美妙了。在这个金钱衡量一切的时代，我们给了每个人希望。”