
第9章 数项级数
9.1 复习笔记
一、数项级数的收敛性
1.相关定义
(1)无穷数项级数
设x1,x2,…,xn,…是无穷可列个实数,称它们的和为无穷数项级数(简称级数),记为
称为数项级数
的部分和数列.
(3)级数的收敛与发散
如果部分和数列{Sn}收敛于有限数S,则称无穷级数收敛,且称它的和为S,记为
如果部分和数列
发散,则称无穷级数
发散.
2.级数的基本性质
(1)级数收敛的必要条件
设级数收敛,则其通项所构成的数列
是无穷小量,即
.
注:只是级数收敛的必要条件,而非充分条件.
(2)线性性
设,α,β是两个常数,则

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(3)定理
设级数收敛,则在它的求和表达式中任意添加括号后所得的级数仍然收敛,且其和不变.
二、上极限与下极限
1.数列的上极限和下极限
(1)相关定义
①在有界数列的一个极限点.
②记是
的极限点},则E显然是非空的有界集合,因此,E的上确界
和下确界
存在.E的最大值
称为数列
的上极限,记为
E的最小值
称为数列{xn}的下极限,记为
注:“ξ是数列的极限点”可以等价地表述为:“对于任意给定的
,存在
中的无穷多个项属于ξ的ε邻域”.
(2)重要定理
①E的上确界H和下确界h均属于E,即

②设是有界数列,则
收敛的充分必要条件是
.
(3)极限点定义的扩充
①定义 在数列中,若存在它的一个子列
使得

则称ε为数列的一个极限点.
②定理 存在(有限数、+∞或﹣∞)的充分必要条件是
.
③定理 设是有界数列,则
的充分必要条件是:对任意给定的ε>0,
a.存在正整数N,使得对一切n>N成立;
b.中有无穷多项,满足
.
④定理 设是有界数列,则
的充分必要条件是:对任意给定的
a.存在正整数N,使得对一切n>N成立;
b.中有无穷多项,满足
2.上极限和下极限的运算
(1)定理
设{xn},{yn}是两数列,则
①

②若存在,则

注:要求上述诸式的右端不是待定型,即不为(+∞)或(﹣∞)等.
(2)定理
设{xn},{yn}是两数列
①若xn≥0,yn≥0,则

②若则

注:要求上述诸式的右端不是待定型,即不为0·(+∞)等.
3.数列的上极限与下极限等价定义
(1)相关概念
设{xn}是一个有界数列,令

则{an}是单调增加有上界的数列,{bn}是单调减少有下界的数列,因此数列{an}与{bn}都收敛.
记

①当数列{xn}无上界而有下界时,则对一切n∈N+,bn=+∞,定义H*=+∞,这时数列{an}单调增加,但也可能没有上界.如果则由

可知
②当数列{xn}无下界而有上界时,则对一切n∈N+,an=﹣∞,定义h*=﹣∞,这时数列{bn}单调减少,但也可能没有下界.如果,则由

可知
③当数列{xn}既无上界又无下界时,则对一切n∈N+,an=﹣∞,bn=+∞,定义H*=+∞,h*=﹣∞,所以对于任意实数数列,尽管其极限可以不存在,但H*与h*总是存在的(有限数或+∞或﹣∞),且满足h*≤H*.
(2)相关定理
H*是{xn}的最大极限点,h*是{xn}的最小极限点.
三、正项级数
1.正项级数
(1)定义
如果级数的各项都是非负实数,即xn≥0,n=1,2,…,则称此级数为正项级数.
(2)正项级数的收敛原理
正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界.若正项级数的部分和数列无上界,则其必发散到+∞.
2.正项级数的收敛判别法
(1)比较判别法
①设与
是两个正项级数,若存在正整数N与常数A>0,使得
xn≤Ayn,n=N+1,N+2,…,
则
a.当收敛时,
也收敛;
b.当发散时,
也发散.
②(比较判别法的极限形式)设与
是两个正项级数,且

则
a.若0≤1<+∞,则当收敛时,
也收敛;
b.若0<1≤+∞,则当发散时,
也发散.
所以当0<1<+∞时,与
同时收敛或同时发散.
(2)Cauchy判别法
设是正项级数,
则
①当r<1时,级数收敛;
②当r>1时,级数发散;
③当r=1时,判别法失效,即级数可能收敛,也可能发散.
(3)d′Alembert判别法
设是正项级数,则
①当时,级数
收敛;
②当时,级数
发散;
③当时,判别法失效,即级数可能收敛,也可能发散.
(4)Raabe判别法
设是正项级数
则
①当r>1时,级数收敛;
②当r<1时,级数发散.
(5)积分判别法
设f(x)定义于[a,+∞),并且f(x)≥0,进一步设f(x)在任意有限区间[a,A]上Riemann可积.取一单调增加趋于+∞的数列{an}:

令

则反常积分与正项级数
同时收敛或同时发散于+∞,且

特别地,当f(x)单调减少时,取an=n,则反常积分与正项级数
同时收敛或同时发散.
四、任意项级数
1.任意项级数
(1)级数的Cauchy收敛原理
①级数收敛的充分必要条件是:对任意给定的ε>0,存在正整数N,使得

对一切m>n>N成立.
②级数收敛的充分必要条件是:对任意给定的ε>0,存在正整数N,使得

对一切n>N与一切正整数p成立.
取p=1,上式即为,于是就得到级数收敛的必要条件
.
(2)Leibniz级数
①定义 如果级数,则称此级数为交错级数.进一步,若级数
满足{un}单调减少且收敛于0,则称这样的交错级数为Leibniz级数.
②Leibniz判别法 Leibniz级数必定收敛.
③Leibniz级数的性质
a.对于Leibniz级数,成立

b.对于Leibniz级数的余和,成立

2.Abel判别法与Dirichlet判别法
(1)Abel变换
设{an},{bn}是两数列,记(k=1,2,……),则

(2)Abel引理
设
①{ak}为单调数列;
②为有界数列,即存在M>0,对一切k,成立
,则

(3)级数的A-D判别法
若下列两个条件之一满足,则级数收敛:
①Abel判别法:{an}单调有界,收敛;
②Dirichlet判别法:{an}单调趋于0,有界.
3.级数的绝对收敛与条件收敛
(1)定义
如果级数收敛,则称
为绝对收敛级数.如果级数
收敛而
发散,则称
为条件收敛级数.
(2)定理
若绝对收敛,则
与
都收敛;若
条件收敛,则
都发散到+∞.
4.加法交换律
(1)定理 若级数绝对收敛,则它的更序级数
也绝对收敛,且和不变,即

(2)定理 设级数条件收敛,则对任意给定的n,﹣∞≤a≤+∞,必定存在
的更序级数
满足
.
5.级数的乘法
(1)定义
对于两个收敛的级数与
,写出所有诸如


的项,将它们排列成下面无穷矩阵的形式:

然后,将所有这些项相加的结果定义为与
的乘积.
(2)级数乘积的敛散性
①常用的排列次序与方式是下面所示的“对角线”排列与“正方形”排列.
a.对角线排列:

令

则称

为级数与
的Cauchy乘积.
b.正方形排列:

令


则就是级数
与
按正方形排列所得的乘积.
对于正方形排列所得的乘积,只要与
收敛,则
总是收敛的,并成立

②定理 如果级数与
绝对收敛,则将
按任意方式排列求和而成的级数也绝对收敛,且其和等于
五、无穷乘积
1.相关定义
(1)设p1,p2,...pn,…(pn≠0)是无穷可列个实数,称它们的“积”
p1p2…pn…
称为无穷乘积,记为,其中pn称为无穷乘积的通项或一般项.
(2)构造无穷乘积的“部分积数列”

(3)如果无穷乘积的部分积数列收敛于一个非零的有限数P,则称无穷乘积
收敛,且称P为它的积,记为

如果发散或
收敛于0,则称无穷乘积
发散.
注:当时,称无穷乘积
发散于0,而不是收敛于0.
2.重要定理
如果无穷乘积收敛,则


3.无穷乘积与无穷级数
(1)无穷乘积的收敛
①定理 无穷乘积收敛的充分必要条件是级数
收敛.
②推论 a.设an>0(或an<0),则无穷乘积收敛的充分必要条件是级数
收敛.
b.设级数收敛,则无穷乘积
收敛的充分必要条件是级数
收敛.
(2)无穷乘积的绝对收敛
①定义 当级数绝对收敛时,称无穷乘积
绝对收敛.
②定理 设,则下述三命题等价:
a.无穷乘积绝对收敛;
b.无穷乘积收敛;
c.级数收敛.