9.3 名校考研真题详解
一、判断题
1．若对任意的自然数p都有
，则
收敛．（ ）[东南大学研]
【答案】错
【解析】根据级数收敛的Cauchy收敛准则，举出反例：例如
，对任意的自然数p，有
，但是
发散．正确的说法应该是，关于p一致有
．
2．若
，且对任意的n，有
，则
收敛．（ ）[重庆大学研]
【答案】错
【解析】举反例：例如
，虽然对任意的n，有
，但是
发散．n必须足够大，
才可以成立．
二、解答题
1．设
收敛，
证明：
[华东师范大学研]
证明：记级数
的前n项和Sn．则
对上式两边取极限，从而
即
2．证明下列级数收敛．
[东北师范大学研]
证明：（1）方法一
所以
所以
收敛．
方法二
由于
所以
而
收敛，从而
收敛．
（2）
由比值判别法知
收敛，再由比较判别法知
收敛，即
收敛．
3．证明：
[浙江大学研]
证明：因为
且单调减，
所以
反复利用分部积分法，
又
所以
将②代入①得
4．讨论级数
的敛散性．[复旦大学研]
解：（1）若p、q＞1，则
绝对收敛．
（因为，例如p＞q，则
为优级数）；
（2）若0＜p=q≤1，应用莱布尼兹定理知级数收敛，且是条件收敛；
（3）当p、q＞0，原级数与级数
同时敛散，若p＞1，0＜q≤1或q＞1，0＜p≤1时级数
一敛一散，故原级数发散．
若0＜p＜q＜1，则
，且与
同阶（当
）；故级数
发散，从而原级数发散．
同理可证，若0＜q＜p＜1，原级数发散．
5．若一般项级数
与
都收敛且下列不等式成立
证明：级数
也收敛．又若
与
都发散，试问
一定发散吗？[汕头大学研、北京工业大学研]
证明：由于级数
与
都收敛，所以由Cauchy收敛准则知对任意的ε＞0，存在N∈N，使得当n＞N及对任意的正整数p，都有
又
，所以
，从而由Cauchy收敛准则知级数
也收敛．
若
与
都发散，
不一定发散．反例：
．
6．设
，证明：
收敛．[浙江大学2006研]
证明：因为
令
，则
易知
，所以
因为
，而
收敛，所以
收敛．
7．设
，举例说明
存在（从而级数
收敛），但
，从而级数收敛的D’Alember判别法失效．[天津工业大学2006研]
解：级数
．由于
故
，所以用D’Alember判别法无法判别其敛散性．又
，所以由根式判别法知
收敛．
8．判断级数
的敛散性．[青岛科技大学研]
解：令
，则
故由Raabe判别法知
收敛．
9．设f（x）在[1，＋∞）上单调，证明：若广义积分
收敛，则级数
也收敛．[北京化工大学研]
证明：不妨设f（x）在[1，＋∞）上单调递减．先证明f（x）在[1，＋∞）上非负，若存在
，使得
．
由于当
时，
，又
发散，故由比较判别法知
发散，矛盾，所以f（x）在[1，＋∞）上非负．
因为f（x）在[1，＋∞）上非负且单调递减，对任意的正数A，f（x）在[1，A]上可积，从而有
依次相加可得
由于
收敛，于是对任意正整数m，有
即非负级数
部分和有界，故
收敛．
10．设
是严格递减的正数列，且
，证明：级数
收敛．[南京农业大学研、上海理工大学研]
证明：因为
是严格递减的正数列，所以
即
是严格递减的数列．又由极限的性质知
故由Leibniz判别法知
收敛．
11．讨论级数
的收敛性．[厦门大学研]
解：利用带Peano余项的Taylor公式
（当x→0时），有
于是
．所以当x＞1－p时收敛，当x≤1－p时发散．
12．
，证明：
存在，并求之．[上海大学研]
证明：令
，则
从而
因为
，所以
故有
13．求级数
的和.[浙江师范大学2005研]
解：因
，故
为了求
，作
，
则
于是
因此，原式
．
14．判断级数
的绝对收敛性和相对收敛性．[武汉大学2005研]
解：（1）绝对收敛性（主要使用放缩法）
（2）相对收敛性：（A-D判别法）
①
；
②
．
15．表格填空
[中山大学2014研]
解：
