第3部分　考试大纲详解

一、函数

1．函数的定义

设数集DR，则称映射：D→R为定义在D上的函数，简记为，其中x称为自变量，y称为因变量．D称为定义域，记作，即．　 

2．函数的表示方法

（1）表格法

（2）图形法

（3）解析法（公式法）

二、函数的性质

1．有界性

（1）上界：若存在K₁，对任意有，则称函数在Ｉ上有上界，而K₁称为函数在Ｉ上的一个上界.

（2）下界：若存在K₂，对任意有，则称函数在Ｉ上有下界，而K₂称为函数在Ｉ上的一个下界.

（3）有界：若对任意，存在M＞0，总有，则称在I上有界.

2．单调性

（1）单调递增　当时，.

（2）单调递减　当时，.

3．周期性

（1）定义　（T为正数）.

（2）最小正周期　函数所有周期中最小的周期称为最小正周期.

4．奇偶性

f（x）的定义域关于原点对称，则：

（1）偶函数　f（－x）＝f（x），图形关于y轴对称.

（2）奇函数　f（－x）＝－f（x），图形关于原点对称.

三、反函数、复合函数、隐函数

1．反函数

（1）定义

设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射f^－1：f（D）→D，称此映射f^－1为函数f的反函数.

（2）特点

①当f在D上是单调递增函数，f^－1在f（D）上也是单调递增函数；

②当f在D上是单调递减函数，f^－1在f（D）上也是单调递减函数；

③f的图像和f^－1的图像关于直线y＝x对称，如图1－1所示．

图1－1

2．复合函数

（1）复合函数概念

设函数y＝f（u）的定义域为，函数u＝g（x）的定义域为，且其值域，则函数称为由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）构成的复合函数，它的定义域为，变量u称为中间变量.

注：函数g与函数f构成的复合函数，即按“先g后f”的次序复合的函数，记为 ，即.

（2）构成复合函数的条件

g与f能构成复合函数的条件是：函数g的值域R_g必须包含于函数f的定义域D_f，即.

3．隐函数

如果变量ｘ，ｙ满足一个方程，在一定条件下，当ｘ取区间I任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的ｙ存在，则称方程在区间I确定了一个隐函数．

四、基本初等函数

1．初等函数定义

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.

2．基本初等函数性质和图形

（1）幂函数

①表达式：；

②定义域：使有意义的全体实数构成的集合；

③性质：

a．当n＞0时，图象过点（0，0）和（1，1），在区间上是增函数;

b．当n＜0时，图象过点（1，1），在区间上是减函数

④图像：图像如图1－2所示：

图1－2

（2）指数函数

①表达式：；

②定义域：R；

③值域：

④性质：

a．当a＞1时，图象过点（0，1），在R上是增函数；

b．当0＜a＜1时，图象过点（0，1），在R上是减函数．

⑤图像：图像如图1－3所示：

图1－3

（3）对数函数

①表达式：；

②定义域：；

③值域：R

④性质：

a．当a＞1时，图象过点（1，0），在上是增函数；

b．当0＜a＜1时，图象过点（1，0），在上是减函数．

⑤图像：图像如图1－4所示：

图1－4

（4）三角函数

表1－1  三角函数的性质和图像

（5）反三角函数

表1－2  反三角函数的性质和图像

五、极限

1．数列极限

设为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式都成立，则称常数a是数列的极限，又称数列收敛于a，记为．

2．函数极限的定义

（1）函数的极限

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，则这个确定的数就称为在这一变化过程中函数的极限.

（2）函数f（x）极限的两种情形

①自变量x趋于有限值时函数的极限

a．定义

设函数f（x）在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数使得当x满足不等式时，对应的函数值f（x）都满足不等式则常数A称为函数f（x）当时的极限，记作.

注：定义中表示，所以时f（x）有没有极限，与f（x）在点是否有定义并无关系.

e．时极限存在的充分必要条件

左极限及右极限各自存在并且相等．

②自变量x趋于无穷大时函数的极限

a．定义

设函数f（x）当|x|大于某一正数时有定义．如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|＞X时，对应的函数值f（x）都满足不等式，则常数A就称为函数f（x）当时的极限，记作

b．简单表述

3．函数极限的性质

（1）唯一性

如果存在，则这极限唯一．

（2）局部有界性

如果则存在常数M＞0和＞0，使得当时，有|f（x）|≤M．

（3）局部保号性

①如果且A＞0（或A＜0），则存在常数使得当时，有

②如果，则存在着的某一去心邻域当时，有．

③如果在的某去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且则A≥0（或A≤0）．

4．四则运算法则

如果，则

（1）

（2）

（3）若，则

六、极限存在准则及两个重要极限

1．极限存在准则

（1）夹逼准则

①夹逼准则1

如果数列及满足下列条件：

a．从某项起，即当时，有；

b．，则数列的极限存在，且．

②夹逼准则2

如果

a．当（或）时，；

b．，

则存在，且等于A．

（2）单调有界准则

单调有界数列必有极限．

2．两个重要极限

七、无穷小与无穷大

1．无穷小

如果函数f（x）当（或）时的极限为零，则称函数f（x）为当（或）时的无穷小．特别地，以零为极限的数列称为时的无穷小．

（1）相关无穷小的定义

①高阶无穷小

如果，则β是比α高阶的无穷小，记作．

②低阶无穷小

③同阶无穷小

如果，则β与α是同阶无穷小．

④k阶无穷小

如果，则β是关于α的k阶无穷小．

⑤等价无穷小

如果，则β与α是等价无穷小，记作．

（2）常用的等价无穷小

2．无穷大

设函数f（x）在的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数（或正数X），只要x适合不等式（或|x|＞X），对应的函数值f（x）总满足不等式|f（x）|＞M，则称函数是当时的无穷大．

八、函数的连续性与间断点

1．函数的连续性

（1）连续

设函数y＝f（x）在点x₀的某一邻域内有定义，如果

则称函数y＝f（x）在点x₀连续．

（2）左连续和右连续

①左连续

如果存在且等于f（x₀），即，则称函数f（x）在点x₀左连续．

②右连续

如果存在且等于f（x₀），即，则称函数f（x）在点x₀右连续．

2．函数的间断点

（1）第一类间断点

①可去间断点：在间断点处函数左右极限相等．

②跳跃间断点：在间断点处函数左右极限不相等．

（2）第二类间断点

①无穷间断点：在间断点处函数极限为无穷大（或无穷小）．

②振荡间断点：在趋近间断点的过程中，函数值在某个区间内变动无限多次．

九、连续函数的运算与初等函数的连续性

1．连续函数的和、差、积、商的连续性

设函数f（x）和g（x）在点x₀连续，则它们的和（差）、积及商（当时）都在点x₀连续．

2．初等函数的连续性

（1）基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．

（2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的．定义区间，就是包含在定义域内的区间．

十、闭区间上连续函数的性质

1．函数f（x）在闭区间[a，b]上连续

如果函数f（x）在开区间（a，b）内连续，在右端点b左连续，在左端点a右连续，则函数f（x）就是在闭区间[a，b]上连续．

2．闭区间上连续函数的性质

（1）有界性与最大值最小值定理

①定理

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值．

②最大值与最小值

对于在区间I上有定义的函数f（x），如果有，使得对于任一，都有

则称是函数f（x）在区间I上的最大值（最小值）．

（2）零点定理与介值定理

①零点

如果，则称为函数f（x）的零点．

②零点定理

设函数f（x）在闭区间上连续，且f（a）与f（b）异号（即f（a）·f（b）＜0），则在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使．

③介值定理

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使得

3．一致连续性

（1）一致连续性定义

设函数f（x）在区间I上有定义．如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于区间I上的任意两点x₁、x₂，当时，有

则称函数f（x）在区间I上一致连续．

（2）一致连续与连续的关系

如果函数f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在区间I上一定连续；当f（x）在区间I上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续．

（3）一致连续性定理

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在该区间上一致连续．