命题IV.16

给定一个圆，可作一个内接正十五边形。

设：ABCD为给定的圆。

求：圆ABCD内作一个内接正十五边形。

令：AC为圆ABCD内等边三角形的一边，AB为等边五边形的一边。

于是：在圆ABCD内就有相等的十五条线段，其中，在圆弧ABC上有五条，该圆弧为圆的三分之一，在圆弧AB上有三条，该圆弧为圆的五分之一。

所以：在余下的BC上有两条相等的弧（命题IV.2、IV.11）。

在E点平分BC。于是：圆弧BE、EC各为圆ABCD的十五分之一（命题III.30）。

如果我们连接BE、EC，且在圆ABCD内切出等于它们的线段，就可以作出内接于圆的正十五边形（命题IV.1）。

证完

推论

同五边形的情况一样，如果过圆上的分点作圆的切线，就可以作出圆的外切正十五边形。

进一步，类似于五边形的情况，我们可以同时作出正十五边形的内接圆与外切圆。