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命题V.2
如果第一个量是第二个量的倍量,第三个量是第四个量的倍量,其倍量相等;第五个量也是第二个量的倍量,第六个量是第四个量的倍量,那么,第一个量与第五个量之和也等于第二个量的倍数,第三个量与第六个量之和是第四个量的倍数,其倍数也相等。
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设:第一个量AB的量值是第二个量c的相同倍数,第三个量DE是第四个量f的相同倍数,第五个量BG是第个二量c的相同倍数,第六个量EH是第四个量f的相同倍数(定义V.2)。
求证:第一与第五之和AG便是第二个量c的相同倍数,第三与第六之和DH是第四个量f的相同倍数。
因为AB是c的相同倍数,DE是f的相同倍数。
所以:在AB里面有多少等于c的量值,在DE里面有同样多等于f的量值。
同理:在BG里面有多少等于c的量值,在EH里面有同样多等于f的量值。
所以:在整个AG里面有多少等于c的量值,在整个DH里面有同样多等于f的量值。所以:AG是c的相同倍数,DH是f的相同倍数。
所以:如果第一个量是第二个量的倍量,第三个量是第四个量的倍量,其倍量相等;第五个量也是第二个量的倍量,第六个量是第四个量的倍量,那么,第一个量与第五个量之和也等于第二个量的倍数,第三个量与第六个量之和是第四个量的倍数,其倍数也相等。
证完
注解
这一命题简单陈述了等倍量之和相等。如果mc与mf是c和f的等倍量,那么nc和nf也是c和f的等倍量。则mc+nc以及mf+nf也是c和f的等倍量。这一证明依赖于分配律,即:
(m+n)c=mc+nc。
这一命题应用在另三个命题的证明中,它们是命题V.3、V.6、V.17。