命题V.6

如果两个量是另两个量的同倍量，从前两个量中减去后两个量的任意同倍量，那么余量或者与后两个量相等，或者是它们的等倍数。

设：两个量AB和CD是两个量e和f的同倍量，从中减去e的同倍量AG和f的同倍量CH。

求证：余量GB和HD也等于e和f，或者是它们的同倍量。

首先，令GB等于e。

那么：HD也等于f。

作CK等于f。

因为AG是e的相同倍数，CH是f的相同倍数，同时GB等于e，KC等于f，所以：AB是e的相同倍数，KH是f的相同倍数（命题V.2）。

又，因假设AB是e的相同倍数，CD是f的相同倍数，于是：KH是f的相同倍数，CD是f的相同倍数。

既然KH和CD都是f的相同倍数，那么：KH等于CD。

令从每个量中减去CH，于是：余量KC等于余量HD。

而f等于KC，于是：HD也等于f。

于是，如果GB等于e，那么：HD也等于f。

同样，可以证明出如果GB是e的倍数，HD也是f的相同倍数。

所以：如果两个量是另两个量的同倍量，从前两个量中减去后两个量的任意同倍量，那么余量或者与后两个量相等，或者是它们的等倍数。

证完

注解

这一命题陈述了如果ma和mb是a和b的等倍量，na和nb也是等倍量，那么它们的差ma-na和mb-nb是更多的等倍量，类似于命题V.2的相加。

它的证明依赖于分配性，即量的乘法分配律：（m-n）a＝ma-na。欧几里得将4作m，3作n。但他并不将1视为一个数。

这一命题在《几何原本》的其他地方也被利用。