命题V.7

等量比同一个量相等。

设：a与b等量，c为任意量。

求证：a、b与c的比相等；反之，c与a、b的比相等。

作等量a、b的等倍量d、e，c的任意倍数f。

那么因为：d是a的等倍量，e是b的等倍量，且a等于b。

所以：d等于e。而f是另一个任意量。

如果d大于f，那么e也大于f；

如果相等，那么后者也相等，如果小于，那么后者也小于。

又，d和e是a和b的等倍量，同时f是c的任意倍数。

所以：a比c等于b比c（定义V.5）。

进一步说明：c与a、b的比相等。

在同一结构中，也可以同样证明d等于e，f是另一个量，如果f大于d，那么也就大于e，如果相等，也就等于后者，如果小于，那么也小于后者。

又，f是c的倍数，同时d和e是a和b的任意等倍量。

所以：c比a等于c比b（定义V.5）。

所以：等量比同一个量相等。

证完

推论

这一命题表明，如果任意量成比例，那么它们也成逆比。

注解

这一命题说，如果a＝b，那么a∶c＝b∶c，c∶a＝c∶b。命题是显明的，逆命题在命题V.9中给出。

推论是不合适的。这一推论实际上与命题无关。因为命题要求的所有量是同类量，而推论则不是。但这一推论却是正确的，它根据定义V.5而来。

比例的这一基础特性经常使用在涉及比例的命题中，在卷5从V.10开始的命题中几次使用，大量使用是在卷6中，以后的几卷中也不时使用。