命题I.48

在一个三角形中，如果以一边为边的正方形面积等于以另两边为边的正方形面积之和，那么，后两边的夹角是直角。

设：在三角形ABC中，BC为边的正方形等于BA和AC为边的正方形的面积之和。

求证：∠BAC是直角。

过A作AD垂直于AC，使AD等于BA，连接DC（命题I.11、I.3，公设I.1）。

因为DA等于AB，所以：DA为边的正方形的面积也等于AB为边的正方形的面积。

用AC为边的正方形的面积与每个相加，于是：DA和AC为边的正方形的面积之和等于BA和AC为边的正方形的面积之和（公理I.2）。

又，DC为边的正方形的面积等于DA和AC为边的正方形的面积之和，因为∠DAC是直角。且BC为边的正方形的面积等于BA和AC为边的正方形的面积之和，因为，这是假设。

所以：DC为边的正方形的面积等于BC为边的正方形的面积。于是：DC边也等于BC（命题I.47、公理I.1）。

因为DA等于AB，AC是公共边，DA和AC两边等于BA和AC两边，且DC边等于BC边，所以：∠DAC等于∠BAC。

而∠DAC是直角，所以：∠BAC也是直角（命题I.8）。

所以：在一个三角形中，如果以一边为边的正方形面积等于以另两边为边的正方形的面积之和，那么，后两边的夹角是直角。

证完

注解

这一命题是前一命题的逆命题。

本命题应用在命题XI.35中。