2.3 随机共振动力学的主要度量方法

2.3.1 信噪比度量方法

在随机共振测度指标中，信噪比占有重要地位[14-17]。起初研究考虑的输入信号为微弱周期信号，主要分析频域情形，以系统响应频谱中对应的周期输入信号频率幅值作为测度。后来又引入功率谱放大倍数，它定义为输出信号频谱中周期成分与输入信号中周期成分的比值。在触发器电路实验中，首次引入了信噪比来定量描述随机共振现象，它定义为输出信号功率谱中信号频率处的幅值与同频背景噪声之比。这两部分分别表示信号功率谱密度和噪声在信号频率附近的强度大小[16-20]。需要注意的是，此处的信噪比更确切地说指的是局部信噪比。

信噪比是指系统输出中信号的功率谱值和噪声的功率谱值的比[18]。当信噪比中出现非线性最大值时，非线性系统、随机噪声与周期信号之间呈现出最强的联合协作力，称为随机共振。信噪比的数值计算方法常见的有如下几种。

一种计算方法为

式中，SNR表示信噪比，S（Ω）表示总体上的功率谱，SN（ω）表示具有噪声背景的功率谱。

另一种计算方法为

式中，P表示总体上的功率谱，Psignal表示信号的功率谱，Pnoise表示噪声的功率谱。

在本书中，通过如下方法来计算信噪比，用于研究非线性系统中的经典随机共振：

式中，Psignal=|Z （k0 ）|2 ，k0是在一定噪声强度下|Z （k）|2 （k∈{0，1，…，N-1}）达到最大值时k所处的值。Z （k）是系统输出序列按照100个点的样本间隔的样本路径序列{X（n），n=0，1，…，N-1}的快速傅里叶变换

式中，N是采样后的数据长度。由于信号频率的一致性，随着噪声强度的增大，整数k0在离散傅里叶变换中将保持不变。同时，噪声功率谱是通过系统输出功率谱中信号点邻域处（k0-M，…，k0-1，k0+1，…，k0+M）的平均值来计算的，其中，M取整数值5。由此可得

因为Lévy噪声具有大量的随机脉冲，系统响应可能出现溢出现象，所以，在系统响应出现xi ＞103时，设定系统输出样本路径失败。

2.3.2 信息熵理论度量方法

非周期随机共振理论研究输入信号是非周期性的情况。非周期信号一般都是宽带信号。因此，利用信噪比描述非周期随机共振不再合适。从而，有学者提出用功率范数或归一化功率范数测量非周期随机共振[21-24]。随后，又提出了香农互信息量的方法进行度量[25]。互信息量是信息理论中一种用来描述信息传输量多少的定量方法，非周期信号和系统输出信号含有的信息量可以用香农平均信息量来计算。它是输出信号中的信息量减去已知信号下的条件熵，反映了系统输入、输出信号之间的关联程度。互信息量的引入使得随机共振和信息理论紧密地联系起来，对于生物信号检测与非周期信号传输具有重要意义，进一步扩展了随机共振的研究范围。此外，也有利用信息论中的Fisher信息量来描述随机共振现象。Fisher信息量越大，系统输出越容易检测到信号。Fisher信息量便于随机共振在信号检测中的应用[26]。

本书使用香农提出的对于离散随机变量的熵的定义。它反映了离散信息所提供的信息量、信息的不确定度及变量的随机性。设定离散随机变量v有如下可能的取值v1，v2，…，vn，每个取值发生的相应概率为P（vi），i=1，2，…，n。不失一般性，从每一个可能取值vi处产生的不确定度的平均量，也就是随机变量v的熵H （v），用下式给出[27][28]：

信息量的单位与所用对数的底有关，对数函数不同的底数表示不同的熵单位。信息论中常用的对数底数为2，信息量单位为bit（比特）。在信息论的公式推导中，为方便计算，有时也取以e为底的对数，信息量的单位为nat（奈特）。有时也取以10为底的对数，信息量单位为hat（哈特）。本书后面研究中涉及的信息量计算均取以2为底的对数函数，信息量单位为bit。

条件熵表示在收到干扰的信息后，原来信息仍然存在的不确定度。有时也称为损失熵或噪声熵。而具有可能取值为r1，r2，…，和s1，s2，…，的两个离散随机变量r和s的条件熵H （r|s）由下式给出：

式中，P（rj|si）表示相应的条件概率。

互信息量表示一个随机变量中包含的关于另一个随机变量的信息量，或者说是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的不肯定性。互信息量对非线性函数关系极为敏感，为研究变量间的关系提供了一种准则。两个离散随机变量s和r之间的互信息量M （s；r），可以由信息熵和条件熵如下关系式给出：

则随机变量r和s之间的互信息量M （s；r）为

在信号传输中常用误码率来表示信号传输的质量。误码率衡量了信息在规定时间内传输的精确性。计算方法为

式中，SER表示误码率，Nw表示信息传输中错误的码数，NW表示信息传输中的总码数。

对于二进制信号，输入的0和1序列统计独立，其相应的概率分别是P（0）和P（1），则误码率为

式中，P（0|1）表示当输入为1而输出为0时的概率，P（1|0）表示当输入为0而输出为1时的概率。

接下来，考虑在信息传输过程中信息传输的最大传输速率问题，也就是信道容量。设单符号离散信道{r，P（s|r），s}的随机输入变量r和随机输出变量s分别由如下n个符号取值{r1，r2，…，rn}和{s1，s2，…，sn}组成。在随机噪声的作用下，符号均匀传输，传输符号正确的传输速率为，其他符号传输错误的概率则是。

此时，信息传输的信道容量为

这也就是输入分布P（ri）下H （s）的最大值问题。根据最大离散熵定理H （s）≤log2n，信道容量取最大值时，当且仅当随机变量s的n个符号取值{s1，s2，…，sn}呈现等概率分布时，等号成立。此时随机变量的n个状态的传输概率集合均为

则相应的信道容量为

对于二进制信号而言，信道容量为

2.3.3 互相关理论度量方法

信噪比测度适用于输入、输出信号的频谱中有比较清晰的谱线。非周期信号一般都是宽带信号，信号频率范围不是集中在一个或几个可数的频率上，而是分布在很宽的一段频带内。信噪比测度难以适用于非周期随机共振的研究，需要发展其他的测度指标。文献[21]中引入了输入、输出的互相关测度来定量描述响应与激励间的相关程度，其中涉及输入非周期信号与随机共振系统输出信号。从信号处理的角度讲，归一化互相关功率范数表征了输入信号与输出信号之间的形状匹配程度。研究发现，随机噪声作用下的非线性系统随着噪声强度的变化呈现非单调关系，并在一定的噪声强度下能够达到峰值[21-24]。

因此，给出互相关功率范数

式中，S（t）为零均值非周期输入信号，R（t）为系统输出信号，“上画线”表示对时间的平均。式（2.52）成立的假设条件是输入信息是通过系统的输出根据时间的变化进行传递的。

同样也可以考虑归一化互相关功率范数

从信号处理的角度来看，最大化归一化互相关功率范数相当于最大化输入激励和系统响应之间的形状匹配程度。因此，这些测量方法能够量化与随机共振相关的噪声诱导的影响，能够量化最初的信号作用和后来的最佳激励响应的相关性。

2.3.4 逻辑驱动理论度量方法

在逻辑信息传输中，常用驱动成功率为指标来衡量信息的传输速率[29]，其表达式为

式中，P（logic）表示驱动成功率，Nsuccess表示成功的驱动轮数，Nl表示系统驱动总轮数。

驱动成功率是成功的驱动轮数与系统驱动总轮数的比率。在计算过程中，利用计算机模拟两个方波信号的逻辑输入信号集合，向系统不断输入不同的信号组合，然后，统计计算在信息传输过程中获得正确逻辑输出的概率。具体过程为：首先，模拟得到两个方波信号的4个0和1的输入信号集合：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）的一个随机序列。其次，每轮对系统输入上述4个信号集合的一个随机序列。每轮有4个不相同的输入信号组合，其中的每个输入信号在系统中驱动一定的时间段。最后，在这个时间段内对比系统的输入信号和输出信号，并利用逻辑真值表检验系统在驱动过程中在一定逻辑操作下输出信号的正确率。当正确率高于一定的百分比时，认为这一组输入信号是正确的。若每轮的4个输入信号组合在一定逻辑操作下都正确地对应着输出信号，则认为方波信号驱动的这轮逻辑操作实施成功。当这个驱动成功率接近100%时，则认为系统成功地实现了相应的逻辑操作，例如，逻辑门NAND/AND和逻辑门NOR/OR等。