1.2 极限

1.2.1 极限的概念、性质

1. 数列的极限

两个数列：

在数轴上表示如图1-1所示．

数列（1）中的项无限趋近于0，数列（2）中的项无限趋近于1．

定义1　当数列{an}的项数n无限增大时，如果an无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称这个数列存在极限A，记作，读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于A”．符号“→”表示“趋向于”，“∞”表示“无穷大”，“n→∞”表示“n无限增大”．有时也记作当n→∞时，an→A，或an→A（n→∞）．

若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛；若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散．

注意：（1）一个数列有无极限，应该分析随着项数的无限增大，数列中相应的项是否无限趋近于某个确定的常数．如果这样的数存在，那么这个数就是所讨论数列的极限，否则数列的极限就不存在．

（2）常数数列的极限都是这个常数本身．

2. 函数的极限

自变量x的变化过程：

①x的绝对值｜x｜无限增大（记作x→∞）；

②x无限接近于某一值x0，或者说x趋向于x0（记作x→x0）．

（1）当x→∞时函数f（x）的极限

x→∞包含以下两种情况：

①x取正值，无限增大，记作x→+∞；

②x取负值，它的绝对值无限增大（x无限减小），记作x→－∞．

若x不指定正负，只是｜x｜无限增大，则写成x→∞．

【例1】　讨论函数当x→+∞和x→－∞时的变化趋势．

解　作出函数的图像，如图1-2所示．

当x→+∞和x→－∞时，，因此当x→∞时，．

定义2　如果当｜x｜无限增大（x→∞）时，函数f（x）无限地趋近于一个确定的常数A，那么称f（x）当x→∞时存在极限A，称数A为当x→∞时函数f（x）的极限，记作

类似地，如果当x→+∞（或x→－∞）时，函数f（x）无限地趋近于一个确定的常数A，那么称f（x）当x→+∞（或x→－∞）时存在极限A，称数A为当x→+∞（或x→－∞）时函数f（x）的极限，记作

【例2】　作出函数和y=2x的图像，并判断极限：①；②．

解　图像如图1-3所示．

①；②．

【例3】　讨论下列函数当x→∞时的极限：①；②y=2x．

解　①如图1-4所示，当x→+∞时，；当x→－∞时，．

因此，当｜x｜无限增大时，函数无限地接近于常数1，即．

②当x→+∞时，y=2x→+∞；当x→－∞时，y=2x→0．

因此，当｜x｜无限增大时，函数y=2x不可能无限地趋近某一个常数，即不存在．

结论：当且仅当和都存在且均为A（相等）时，存在且为A，即

（2）当x→x0时函数f（x）的极限

x→x0包含以下两种情况：

①表示x从大于x0的方向趋近于x0；

②表示x从小于x0的方向趋近于x0．

记号x→x0表示x无限趋近于x0，对从哪个方向趋近没有限制．

【例4】　讨论当x→2时，函数y=x+1的变化趋势．

解　作出函数y=x+1的图像，如图1-5所示．不论x从小于2的方向趋近于2，还是从大于2的方向趋近于2，函数y=x+1的值总是随着自变量x的变化从两个不同的方向越来越接近3．所以，当x→2时，y=x+1→3．

【例5】　讨论当x→1时，函数的变化趋势．

解　作出函数的图像，如图1-6所示．

函数的定义域为（－∞，1）∪（1，∞），在x=1处函数没有定义．x不论从大于1还是从小于1两个方向趋近于1时，函数的值是从两个不同方向越来越接近2的．研究当x趋近于1时函数的变化趋势，并不计较函数在x=1处是否有定义，而仅关心函数在x=1的邻近（x∈U（1，δ））的函数值的变化趋势，即认为在x→1时隐含一个要求：x≠1．因此，当x→1时，．

定义3　如果当x≠x0，x→x0时，函数f（x）无限地趋近于一个确定的常数A，那么称当x→x0时f（x）存在极限A；数A就称为当x→x0时函数f（x）的极限，记作．

【例6】　求下列极限：

（1）f（x）=x，；（2）f（x）=C，，C为常数．

解　（1）因为当x→x0时，f（x）=x的值无限趋近于x0，所以=x0．

（2）因为当x→x0时，f（x）的值恒等于C，所以．由此可见，常数的极限是其本身．

规定：

①如果x从大于x0的方向趋近于时，函数f（x）无限地趋近于一个确定的常数A，那么称f（x）在x0处存在右极限A，称常数A为当x→x0时函数f（x）的右极限，记作；

②如果x从小于x0的方向趋近于时，函数f（x）无限地趋近于一个确定的常数A，那么称f（x）在x0处存在左极限A，称常数A为当x→x0时函数f（x）的左极限，记作．

【例7】　已知函数讨论当x→0时的极限．

解　，，f（x）．因而当x→0时，f（x）的极限不存在．

一般地，．

【例8】　已知求．

解　因为，，即=2，所以．

【例9】　已知是否存在？

解　当x＞0时，；当x＜0时，．

所以函数可以分段表示为于是

，即，所以不存在．

1.2.2 无穷大量与无穷小量

1. 无穷大量

考察函数．

由图1-7可知，当x从左右两个方向趋近于1时，｜f（x）｜都无限地增大．

定义4　如果当x→x0时，函数f（x）的绝对值无限增大，则称函数f（x）为x→x0时的无穷大量．

如果函数f（x）为当x→x0时的无穷大，那么它的极限是不存在的．但为了便于描述函数的这种变化趋势，也说“函数的极限是无穷大”，并记作

注意：式中的记号“∞”是一个记号而不是确定的数，整个式子仅表示“f（x）的绝对值无限增大，f（x）是无穷大量”．

如果在无穷大的定义中，对于x0左右附近的x，对应的函数值都是正的或都是负的，即当x→x0时，f（x）无限增大或减小，就分别记作

（1）当x→1时，无限增大，所以是当x→1时的无穷大，记作．

（2）当x→∞时，｜x｜无限增大，所以x是当x→∞时的无穷大，记作．

（3）当x→+∞时，2x总取正值且无限增大，所以2x是当x→+∞时的无穷大，记作．

（4）当x→0+时，lnx总取负值且无限减小（见图1-8），所以lnx是x→0+时的无穷大，记作．

定义4可推广到，x→∞，x→+∞，x→－∞时的情形．

注意：

（1）一个函数f（x）是无穷大，是与自变量x的变化过程紧密相连的，因此必须指明自变量x的变化过程．

（2）不要把绝对值很大的数说成无穷大．无穷大表示的是一个函数，这个函数的绝对值在自变量某个变化过程中的变化趋势是无限增大；而这些绝对值很大的数，无论自变量是何种变化过程，其极限都为常数本身，并不会无限增大或减小．

2. 无穷小量

（1）无穷小的定义

考察函数f（x）=x－1，由图1-9可知，当x从左右两个方向无限趋近于1时，f（x）都无限地趋向于0．

定义5　如果当x→x0时，函数f（x）的极限为0，那么称函数f（x）为x→x0时的无穷小，记作．

例如，因为，所以x－1是当x→1时的无穷小．

又如，因为，所以是当x→∞时的无穷小．

注意：

（1）一个函数f（x）是无穷小，是与自变量x的变化过程紧密相连的，因此必须指明自变量x的变化过程．

（2）不要把绝对值很小的常数说成无穷小．无穷小表示的是一个函数，这个函数在自变量某个变化过程中的极限为0；而这些绝对值很小的数，无论自变量是何种变化过程，其极限都不是0；只有常数0可以看成无穷小，因为常数函数0的任何极限总是0．

（2）无穷小的性质

设f1（x），f2（x），…，fn（x）是x→x0（或x→∞等）时的无穷小．

性质1　（ai∈R）是x→x0（或x→∞等）时的无穷小，即有限个无穷小的代数组合是无穷小．

性质2　f（x）=f1（x）•f2（x）•…•fn（x）是x→x0（或x→∞等）时的无穷小，即无穷小的积是无穷小．

性质3　设g（x）当x→x0（或x→∞等）时是有界的，则g（x）•fi（x）（i=1，2，…，n）是x→x0（或x→∞等）时的无穷小，即有界函数与无穷小的积是无穷小．

【例10】　求．

解　因为，所以x是x→0时的无穷小．而，所以是有界函数．

根据无穷小的性质3，可知．

【例11】　求．

解　因为，而是当x→∞时的无穷小，sinx是有界函数，所以．

（3）函数极限与无穷小的关系

定理1　，．即当x→x0时f（x）以A为极限的充分必要条件是f（x）能表示为A与一个x→x0时的无穷小之和．

证　必要性：设，令α=f（x）－A，则f（x）=A+α，而[f（x）－A]=0，即α是当x→x0时的无穷小．

充分性：设f（x）=A+α，其中α是当x→x0时的无穷小，则=A，即f（x）的极限为A．

3. 无穷大与无穷小的关系

定理2　无穷大的倒数是无穷小；反之，在变化过程中不为零的无穷小的倒数为一个无穷大．

【例12】　求．

解　因为，即是当x→1时的无穷小，根据无穷大与无穷小的关系可知，它的倒数是当x→1时的无穷大，所以．

1.2.3 极限的四则运算

前面根据自变量的变化趋势观察和分析了函数的变化趋势，从而求出了一些简单函数的极限．如果要求一些结构较为复杂的函数的极限，仅靠观察是很难计算的．下面进一步介绍一些计算极限的方法．

和、差、积、商的极限运算法则：

如果，那么

特别地，（C为常数）；

（3）．

说明：

（1）上述运算法则对于x→∞等其他变化过程同样成立；

（2）法则1、2可推广到有限个函数的情况，因此只要x使函数有意义，下面的等式也成立：

极限运算“”与四则运算（加、减、乘、除）可以交换次序（其中除法运算时分母的极限必须不等于零）．

【例13】　求．

【例14】　求．

由以上例题可以看出，多项式的极限

有理函数的极限

【例15】　求．

解　因为，所以不能直接用法则3求此分式的极限．但=10≠0，所以有．

这就是说，当x→2时，是无穷小量．因此，由定理2可知为无穷大量，所以.

【例16】　求．

解　将分子、分母同除以n2，．

因为

所以　

【例17】　求．

解　将分子、分母同除以x4，得

【例18】　求．

解　.

【例19】　求．

解　．

【例20】　已知求，．

解

1.2.4 两个重要极限

1.

特点：

（1）它是“”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是；

（2）在分式中同时出现三角函数和x的幂．

推广：

如果可以是有限数x0，±∞或∞），则．

【例21】　求．

解　．

【例22】　求（k为非0常数）．

解　．

【例23】　求．

解　．

2.

特点：（1+0）∞或者1∞．

推广：

若可以是有限数x0，±∞或∞），则．

【例24】　求．

解　令，则当x→∞时，α→0．．

或．

讨论：（1）

【例25】　求．

解　令，则．当x→∞时，u→0，于是．

【例26】　求．

解　设t=tanx，则．当x→0时，t→0，于是，．

1.2.5 无穷小的比较

两个无穷小的和、差、积仍为无穷小，但是由第一个重要极限的结果可知，两个无穷小的商不一定是无穷小．例如，x→0时，2x，x2，tanx都是无穷小，，，可见两个无穷小的商是不同的．这是因为各无穷小在趋于零的过程中变化的“快慢”程度不同．这种“快慢”程度可导致不同的运算结果．这里引入无穷小量阶的概念．

定义6　设α，β是当自变量x→a（a可以是有限数x0，可以是±∞或∞）时的两个无穷小，且β≠0．

（1）如果，则称当x→a时α是β的高阶无穷小，或称β是α的低阶无穷小，记作α=o（β）（x→a）．

（2）如果，则称当x→a时α与β是同阶无穷小；特别地，当A=1时，称当x→a时α与β是等价无穷小，记作α~β（x→a）．

注意：记号“α=o（β）（x→a）”并不意味着α，β的数量之间有相等关系，它仅表示α，β是x→a时的无穷小，且α是β的高阶无穷小．

例如，当x→0时，x2是比x高阶的无穷小，所以x2=o（x）（x→0）；因为，sinx与x是x→0时的等价无穷小，所以sinx~x（x→0）；因为，，所以x→0时，有1－cosx=o（x），tanx~x，．而1－cosx与x2是x→0时的同阶无穷小．

定理3　设α，β，α′，β′是x→a时的无穷小，且α~α′，β~β′，则当极限存在时，极限也存在，且．

证　．

常用等价无穷小（x→0）：

sinx~x，tanx~x，arcsin x~x，arctanx~x，，ln（1+x）~x，ex－1~x，．

【例27】　求．

解　因为x→0时，sin2x~2x，tan5x~5x，所以

【例28】　求．

解　因为ex－1~x，ln（1+x2）~x2，sin2x~2x，，

所以．

【例29】　用等价无穷小的代换，求．

解　因为tanx－sinx=tanx（1－cosx），而tanx~x，，所以．

【例30】　圆的面积为什么是πR2（R为半径）？

解　由分析知，圆的面积