2.1　光学镜面的设计要求

2.1.1　镜面面形的基本要求

天文光学望远镜包含很多重要部件，是一种十分灵敏的光能收集器。其中，反射镜面是最重要的部件。反射镜面的大小，表面反射率以及镜面形状误差直接影响着望远镜辐射能收集的效率。镜面的表面精度和波阵面误差直接相关，从而影响望远镜的斯特尔比。

为了获得非常明锐的星像，光学望远镜的反射镜面必须有着极高的表面精度。理想反射镜面的形状通过光学设计、光线追迹和系统优化获得，对应于这一理想形状的像斑在几何光学上是一个尺寸很小的光斑。这个光斑所对应的是一个在光瞳面上的理想的高斯平面波。但是实际使用的光学镜面存在光学加工误差，镜面支承变形，温度所引起的变形以及其他缺陷，镜面形状相对于这一理想形状必然有一定误差。这一镜面表面形状误差经光学反射而加倍，引起望远镜所传递的波阵面产生相位误差，使望远镜在焦点上形成一个非理想像斑。

一般来讲，光学镜面误差或者波阵面误差是用它表面上的各点坐标和一个理想镜面或波阵面来比较，用两者之间距离的均方根（root main square）值来表示。镜面误差是波阵面误差的一半，常常被称为半波阵面误差（half wavefront error）。从统计学观点出发，实际望远镜镜面和它的最佳贴合理想表面之间的平均距离应该是零，而误差的均方根值就是实际表面和理想表面距离的标准误差（standard deviation），均方根差的平方称为方差（variance）。均方根差和最大误差（peak error）之间的比值与误差分布有关。对均匀分布的误差，最大误差约是均方根差的两倍；对三角形周期分布的误差，最大误差是均方根差的3.46倍；对正弦分布的误差，最大误差是均方根差的2.83倍；而对高斯分布的误差，则不存在误差的最大值，典型的高斯分布的最大误差是均方根差的6～8倍。当存在多个互相独立，即互相正交的误差影响因素时，总均方根误差是每一个因素方差和的平方根（root sum square，rss）。

根据电磁波传输理论，当电磁波的波阵面偏离理想高斯球面时，电磁波的能量将会重新分布，这种能量重新分布的结果是像斑明锐度降低，弥散斑增大，在焦点处的光能减弱。

在一个轴对称系统中，一个圆形口径在空间一点P的辐射能量为

式中A是口径场上光的振幅，φ为波阵面误差，a为口径场半径，ρ，θ为口径场坐标，r，ψ为像场坐标，z为口径场和像场间的距离，R为口径场到点P的距离。式中。如果在口径面上没有波阵面误差，则最高能量像点会落在口径场轴线上，并且最高能量为

式中理想像点的最大光强是口径场上光强的［a2/（λR）］2倍，这个数值被称为菲涅耳系数。菲涅尔系数表明口径越大，波长越小，焦距越小的光学系统可以获得最大的像点光强。式2.1和式2.2之比就是斯特尔比。

对于波阵面误差较小的情况，如同在像差理论中讨论的一样，可以去掉波阵面误差中的一次和二次项，即倾斜项和焦点的位移项。这时波阵面差只剩下以焦点为球心的剩余误差。因此可以得出斯特尔比为

式中φP是实际波阵面和高斯波阵面之间的偏差，设为波形偏差φ的n次方的平均值，即

则波阵面形状的方差（Δφ）2就等于

当波阵面均方差Δφ＜λ/2π的时候，像点光强近似等于

这一表达式与上一章介绍的表达式完全相同。这里所指的是波阵面误差小，分布随机，相关尺度小，没有重复误差并且一阶导数连续的情况。这时的星像的能量减少与误差的具体形式及分布状况无关。但是当误差大时，这个公式存在一定的偏差。

公式2.6给出了光学系统由于波阵面偏差所引起的像点光强的散射损失，同时也给出了实际反射镜面所允许的表面形状误差的准则。反射面面形所允许的误差是波阵面误差的一半。表2.1列出了波形均方偏差和系统像点相对光强之间的关系。通常所允许的像点光强为理想光强的67％，则反射镜面的表面均方根偏差应该不大于波长的二十分之一。

地面光学天文望远镜，除非使用自适应光学，所获得的星像全部是以大气宁静度为极限的。为了满足天文台台址所可能的最小大气宁静度的要求，充分发挥望远镜的使用效率，传统反射镜面的精度应能保证全部光能量的90％集中于最好的大气宁静度的角直径范围内，能量的80％集中于角直径0.15到0.3角秒范围内。对于空间望远镜或者自适应光学望远镜，可以观察到艾里斑的细节。镜面误差通常是波长的四十分之一以下。希望的几何像斑在0.02角秒左右。由于镜面表面偏离理想表面的要求极高，所以精确的镜面加工和正确的镜面支承是空间望远镜设计和制造中的一个重要课题。在天文光学中，常常使用和像点半功率主瓣宽度相关的弗里德（Fried）常数来作为表面误差的标准。比如大气相关长度，即Fried常数为60厘米时，所对应的星像半功率主瓣宽度为0.17角秒。大气相关长度为10厘米时，星像半功率主瓣宽度则是1角秒。

2.1.2　镜面误差和镜面支承系统

光学望远镜中主镜镜面误差有三个来源：镜面加工误差、镜面支承误差和其他如温度变化所引起的误差。镜面加工会在抛光和检验之后产生固定的镜面误差，镜面支承常常会产生与高度角相关的重力误差，而其他因素则包括温度变化、传感器和触动器形成的误差。当望远镜指向不同高度方向时，镜面受到的重力在轴向和径向的分量将不断变化，给望远镜镜面在这两个方向上的支承增加了困难。

2.1.2.1　镜面的轴向支承

镜面的直径和厚度之比（径厚比，aspect ratio）是镜面支承设计的一个重要参数。径厚比越小，镜面质量越大，因此成本也就越高。经典的镜面采用的径厚比在6到8之间。这种厚的镜面比较容易支承，但是其很大的热惯性和重力惯性给设计者增加了很大的麻烦。天文望远镜中最早使用薄镜面是1973年建成的英国3.8米红外望远镜。它的径厚比是16。随着径厚比的增加，镜面支承系统的设计就变得十分重要，镜面支承系统对镜面形状的影响将十分敏感。

当镜面的径厚比较大时，薄镜面在轴向支承系统条件下的变形可以用经典的薄板理论来计算。一块薄板的变形常常是它的直径和厚度的函数，在望远镜镜面支承中，被称为比例尺定理（scaling law）。比例尺定理表明，在相同的支承条件下，镜面表面均方根误差和直径的4次方成正比，和厚度的平方成反比（Cheng and Humphries，1982）。即如果已经知道某一镜面的表面变形误差，则可以推算出不同直径、不同厚度的镜面在相同支承条件下的变形。

图2.1是根据一些镜面变形情况画出的镜面表面均方差在不同支承环数的情况下与镜面直径和镜面径厚比（d/t）之间的关系。图中的四组曲线分别代表镜面在1环、2环、3环和4环支承条件下，镜面表面均方根误差的变化规律。这里的数据分别来自一些已知的望远镜数据以及应用有限元计算的结果。由于数据来源不同，支承位置、支承环作用力的情况与优化程度各不相同，所以各曲线之间的严格比较是不精确的。但是这组曲线仍然可以用来预测不同镜面在不同的轴向支承的情况下所可能产生的表面变形均方差。在变形要求确定后，这些曲线可以用来决定某一镜面所需要的支承环数目。

为了更精确地研究镜面在不同轴向支承条件下的变形情况。必须回到薄板理论，根据这一理论，任一薄板或镜面在其自重作用下的表面均方根变形均可表示为：

式中A是薄板面积，q是单位面积自重载荷，D是抗弯刚度，而ξ是表示支承效率的常数。如果薄板总共有N个支承点，那么表示每一个支承点平均支承效率的公式可写作：

实际支承系统中每个支承点的支承效率各不相同，特别是处于边缘的支承点，由于边缘效应，变形会增大，支承效率会降低。因此实际支承系统中每个支承点的支承效率将接近而难于达到某一理想效率值。如果A→∞，N→∞，则支承点附近的变形就仅仅取决于支承点的排列以及每个支承点所对应的支承面积（A/N）。这时的最大支承效率就是这一理想的极限效率。为了求出这一极限情况，考虑如图2.2所示的三种最基本的支承阵列。为了求解这三种阵列情况下的支承效率常数γ∞，可以采用线性叠加的方法。这三个常数值分别为（Nelson，1982）：

这三种支承下的最大变形量分别为4.95×10－3，5.80×10－3，9.70×10－3。很明显三角形阵列是效率最高的支承点布置形式，而γtriangular则可以作为讨论镜面轴向支承效率的一个标准。

回到圆形薄板在点支承情况下的变形，设某一圆形薄板在n（i=1，…，n）环的支承下，每环各含有ki个支承点，各环承受圆板载荷的权重为εi，各环支承点的方位偏转角为φi，则圆板表面总变形可以表示为（Nelson，1982）：

式中βi为各环的相对支承半径。为了计算简便，可以分别求出圆板在第i环单独支承下的薄板变形，也就是公式2.10中的δi。然后根据不同环的权重εi叠加起来。δi的表达式可以展开为角度值和相对半径的泽尼克（Zernike）级数（泽尼克级数和傅立叶级数类似，是在圆面上以角度和半径不断细分的级数形式）。但是当n增大时，δrms的表达式十分繁杂，运算量极大，βi的逐步优化也是十分复杂的事情。

相对来说一环数个支承点是最简单的情况，这时需要优化的参数只有两个，一个是支承点所在的相对半径，另一个是支承点数。图2.3给出了一环数点支承情况下相对支承半径和表面均方根误差之间的关系。

当只有一个点支承时，支承半径无需优化，支承常数ξ=γ1=2.62×10－3。当支承点数增加为2时，则支承点的半径就需要优化。这时的最佳支承半径大约在β2=0.35的地方，支承常数为ξ=2.16×10－3，而每一支承点的效率是γ2=22·ξ。相对一点支承，多点支承的效率大大下降。从图2.3中可以看出当支承点数目增至六时，其表面变形已经十分接近一环连续支承（N=∞）的情况，这时ξ=0.07×10－3，而γ6=2.50×10－3。继续增加一环之中的支承点数，表面均方差仅略有降低，而每一支承点的支承效率则大大降低。在连续环支承情况下，最佳相对支承半径为β=0.683。处于最佳支承半径下圆板表面均方根误差仅仅是连续环外边缘支承条件下的4％。对于光学镜面，这是一个重大改善，可见支承点的优化工作具有十分重要的意义。

当圆板在两环支承条件下，它的表面变形与圆板材料有关，取材料泊松比ν=0.25。如果在一环六点的支承上加上中心一点，就得到七点支承。通过优化可得到最佳支承条件，这时支承效率ξ=0.045×10－3，γ7=2.40×10－3。两环八点支承是最不理想的支承形式，从未被采用过。真正意义上的两环支承含有九个支承点，但是九点支承仍难以形成完整的三角形点格布局。所以这时表面均方差比较七点支承改善很小，而每个支承点的支承效率则大大下降（见图2.4）。比较完整的三角形点格结构由12个支承点组成，这种结构表面变形很小，而且每个支承点的支承效率也大为提高。这时ξ=0.013×10－3，γ12=1.88×10－3。注意这时γ12仅仅是γtriangular的1.6倍。

采用15点支承，γ15值较大。当N=18时，支承效率又大大改善，如果在18点两环支承中加上位于圆心的第19点，则支承系统的ξ和γ19均明显减小。以后随着支承点的增加，ξ不断下降，而γN则不断接近于γtriangular。在镜面36点最佳支承中γ36=1.4γtriangular。不过由于支承点数目的增加，优化参数会增多，必须十分细心才能使支承结构优化。这时参数的微小变化都可能引起表面变形较大的改变。图2.4给出了在各种最佳支承状态下，支承常数γN和γtriangular的比值以及变形常数γ的数值变化规律。

对于大型薄镜面，支承点的数目N与平均支承面积成反比，仅考虑镜面厚度t有：

因此可以通过增大支承点数或增大镜面厚度来改善镜面的变形情况。如果希望保持镜面的表面变形误差，镜面厚度的减小可以用增加支承点数的方法来补偿。增加支承点数目，实际是减小支承点之间的距离。以支承效率最高的三角形点列支承讨论，如果取材料的E=9.2×1010N·m－2，ν=0.25和ρ=2500kg·m－3（cer-vit材料），则镜面厚度t，支承点之间的距离b和表面均方根误差ω的关系如图2.5所表示。

2.1.2.2　镜面径向支承

底面为平面的径向支承所引起的镜面最大变形发生在望远镜指向地平方向的时候。这时镜面重力载荷和支承力同处在垂直于镜面轴线的方向（图2.6）。镜面表面变形发生在Z方向上，是镜面重力和支承力所产生的泊松比效应，应变分量εz为：

式中σx和σy分别是镜面在X和Y方向的应力。除了镜面材料弹性模量E和泊松比ν外，应力分量σx是重力载荷与支承力的作用，σy取决于径向支承条件。

图2.7是三种典型径向支承的受力状况。图中（a）为径向水银带支承情况，（b）为径向余弦推力支承情况和（c）为竖直方向推拉支承情况。在竖直方向推拉支承中所有的支承力都平行于X轴。这三种支承状况下镜面应力Y方向分量为：

式中θ是极角，ka和kb是正常数。（a）和（b）两种情况时镜面应力分量σx和σy都是压应力，具有相同的符号。因此（c）镜面支承时将具有最小的表面变形。

为了考察泊松比的作用，如图2.8所示截取一平底镜面在竖直对称面上的一小带区，因为镜厚z=（x2/（4F））+t0，泊松比变形为w=z·εz，因此得到镜面表面变形为：

式中ρ为镜面密度，t0为镜面中心厚度，F为镜面焦比，g为重力加速度，d为镜面直径。式中第一项是常数，第二项是一次项，均不影响波阵面形状。仅仅第三项会引起像散，这种最大的有害变形发生在镜面边缘x=d/2外，数值为：

如果取材料的E=9.2×1010N·m－2，ν=0.25和ρ=2500kg·m－3（cer－vit材料），则可以画出最大变形、焦比和口径之间的关系（图2.9）。这种径向支承所引起的有害变形与望远镜主焦比成反比，与口径平方成正比。由于变形值小，一般情况下并不构成对像质的严重威胁。这是径向支承不如轴向支承要求苛刻的一个原因。

2.1.2.3　新月形镜面的径向支承

薄镜面中镜面上表面偏离平面的矢高为S=d/（16f），所以镜面的各个区域具有不同的时间常数。为了避免镜面的温度变形，降低镜坯质量，薄镜面常常被制成等厚的新月形状。新月形镜面各个区域具有完全相同的时间常数，不过它的径向支承常常比平凹镜面的支承复杂很多。这主要是因为装置在镜面侧面的径向支承难以通过镜面重心，镜面因此会承受一个附加力矩，会引起一个较大变形。镜面在泊松比效应下的变形一般很小，同时这种变形包括常数项和线性项的贡献。而镜面在弯矩作用下的变形大，这种变形和镜面直径的高次方相关。为了减小镜面因弯矩产生的变形，可以在镜面背后增设深入镜体内部的径向支承机构，减小各支承与镜面重心之间的距离，但是这样就会增加支承机械的复杂性。对于口径大，径厚比大，焦距小的镜面尤其如此。

对于新月形镜面的径向支承，斯瓦辛格（Schwesinger，1991）提出了在径向支承结构中同时引入径向、切向和轴向力的新思想。首先，他通过增加切向支承力来改善镜面的变形，然后他又通过增加轴向支承力来平衡镜面质量所引起的弯矩。

径向支承情况下的镜面变形可以表示为类傅立叶级数形式，如：

式中r是相对半径，θ是极角。当支承点分布在镜面边缘时，相对半径为1。根据这个公式，当模态n=1时，镜面变形最理想，仅仅产生十分均匀的倾斜，不破坏镜面形状。在力学领域，薄镜面的受力和变形满足线性系统理论。当镜面受到一个可以分解为类傅立叶级数的力时，镜面所产生的变形将同样可以分解为一个类傅立叶级数的形式。反之亦然。为了使镜面在径向支承时变形最小，就应该在镜面变形公式中尽量消除n=1模态以外的力和力矩的贡献。在传统的径向推拉支承中，径向推拉力的变化规律符合n=1模态形式，为Pr（θ）=Prcosθ。所以在这种形式支承力作用下，主要变形也具有同样的函数形式。如果在镜面切线方向上也施加一个类似的正弦变化的力，如Pt（θ）=Ptsinθ，那么它对镜面变形的作用同样满足上面的准则。所以一个理想径向支承力的函数应该是这两个方向力的矢量和。

传统的竖直方向的推拉支承中已经包含了这两种分力的组合。为了进一步改善镜面的表面变形，可以继续优化支承力中径向分力和切向分力的比例，进一步增加切向支承力的部分，则有可能获得更加理想的镜面表面变形。记Pr为径向分量所支承的镜面质量，Pt为切向分量所支承的镜面质量（图2.10），则可以定义一个切向分量常数：

在纯径向推拉力支承中，这个常数β=0。在竖直推拉力支承中，β=0.5。在8米新月形的薄镜面侧支承的研究中，斯瓦辛格发现，当采用竖直推拉支承时，镜面表面误差仍然很大，均方根达4.08微米。在增大这个常数以后，镜面表面误差迅速减少。β=0.7529时，他获得了最小镜面误差，数值仅仅为8.9纳米。在这个条件下，侧支承力在口径面方向上的合力如图2.11所示。对不同镜面，合力的方向和大小可能会不同。但总的来说，支承径向和切向力的合力在镜面下部是从重力线向外侧倾斜，在镜面上部是从外侧向重力线倾斜。这时支承力的方向和竖直线之间的夹角为：

在新月形镜面的侧支承中，力支承点分布在镜面的外圆周，偏离所支承的镜面重心，这时支承力和镜面重力会产生一个向后翻转的力矩。为了平衡这个翻转力矩，可以在侧支承上再增加一个轴向分量。这个轴向分量的大小同样是支承点圆周角的函数，它们正好可以平衡这个翻转力矩。所以新的侧支承合力并不是严格和光轴正交的。在镜面下方，支承合力倾斜偏向于镜面的背后，在镜面上方，支承合力偏向于镜面的前方向。现在这种特殊的径向支承结构已经应用于不少大口径，薄镜面的支承中。

2.1.2.4　大口径蜂窝镜面的径向支承

蜂窝镜面的结构特点将在第2.2.3节中详细介绍。在大口径的蜂窝镜面中，常常使用热膨胀系数较大的硼玻璃材料，所以这种镜面必须在强制通风的条件下工作。为了保持蜂窝镜面十分均匀的热时间常数，大口径蜂窝镜面的外侧圆周面常常不是特别的厚实和坚固。这时，脆弱的侧表面上将不能够承受镜面的全部质量。为了避免在玻璃中产生很大的应力（大于0.7 MPa），大蜂窝镜面的径向支承就不可能像实心镜面一样，安排在镜面的外侧圆周面上，这就产生了位于镜体背面的特殊的轴向和径向合一的镜面支承系统。

这种大蜂窝镜面背面的主动支承系统包括两个部分：第一是大量可以施加轴向力和非轴向力的力触动器，其中少数触动器仅仅施加轴向力（图2.12）；第二是不承受任何镜面质量的六杆支承的定位系统。典型的力触动器包括三个胶粘在镜面背后的力分布环，支承力分布环的力分布器和两个可以施加互成一定角度力的力触动器（图2.13）。

在典型的设计中，每个力触动器可以提供3000 N的轴向力和2100 N的径向力。通过调整所有这些力触动器所施加力的大小，可以实现镜面系统中镜面重力和支承力在轴向和径向的合力和合力矩的平衡。如果对触动器力的分布进行进一步优化，则可以实现每一个触动器施加的力均为最小值的理想状况。同时，决定镜面位置的六杆支承定位系统将不承受任何的镜面质量（第2.3.4.2节）。现在这种特殊的镜面支承系统已经用于一系列口径6.5米和8.4米的大蜂窝镜面之中。

2.1.3　镜面误差的贴合和斜率误差的表示

在口径面上，理想的对应于高斯像点的波阵面是一个平面。对一个实际波阵面必然存在无数组与之相近的理想高斯波阵面，不过其中只有一个高斯波阵面和实际波阵面具有最小的偏差，这一高斯波阵面就称为最佳贴合波阵面。实际波阵面和最佳贴合波阵面之差就是波形差。波形差和波长比就是相位差。半波长波形差相当于180度相位差。由于反射，镜面形状引起的波形差是镜面误差的两倍。相对于望远镜镜面坐标系，最佳贴合波阵面有三大变化，即坐标原点平移、坐标系旋转及焦点位置的改变。在实际应用中，特别是在多环支承情况下，同时考虑这三种变化会给分析优化工作带来困难。光学望远镜中一种简捷方法就是仅考虑坐标系平移所形成的最佳贴合理想反射面。这时在计算中可以用镜面表面变形的平均值来表示这一理想反射面，使优化和计算的工作量大大降低。前面章节所给出的波形均方根差δrms就是这样获得的。详细的抛物面镜面的贴合公式见第8.1.4节的讨论。

镜面变形除了用均方根差表示外也常常用镜面不平度或斜率误差（slope error）表示，镜面不平度是对镜面在大尺度上调制的描述，它代表了镜面各区间表面起伏的波长（或周期）。这个波长常常在几厘米或几十个厘米范围。因为镜面存在不平度，所以反射后的波阵面会产生误差。波阵面误差是不平度误差的两倍。不平度误差使像斑尺寸增大，星像分辨率降低。不平度的角度值和像斑角尺寸成比例。最大像斑尺寸大约等于镜面斜率误差的四倍。使用斜率误差有一定的局限性，当镜面表面起伏的波长和光波长相当的时候，比如从光学镜面发展到红外镜面的时候，几何光学的理论就不再适用，这时表面斜率误差的影响将大大减小。

通常镜面不平度S与镜面均方根差成正比，与镜面有效支承距离u成反比。一般有效支承距离定义为Nπu2=A。由公式2.8有：

式中常数ηN可通过计算获得。在很多场合为了求出最大表面不平度，比例系数ηN可以由下式给出：