三、例题解析

例1　求函数的定义域．

解　lnlnlnx要有定义，即lnlnx>0，从而lnx>1，需满足x>e；

要有定义，需满足x2≤100，|x|≤10，即-10≤x≤10．

因此，f（x）的定义域为（e，10］．

例2　设，f［φ（x）］=1-x，且φ（x）≥0，求φ（x）并写出它的定义域．

解　由，得. 由ln（1-x）≥0得1-x≥1，即x≤0.

所以，φ（x）的表达式为

例3　设a≠0，|r|<1，求．

解　利用等比数列的前n项和公式，可得

例4　求极限．

解　先利用有理式因式分解法消去零因子，再利用极限的四则运算法则进行计算．

例5　求极限．

解　先将无理式有理化，消去零因子，再利用极限的四则运算法则进行计算．

例6　求极限．

解　利用立方差公式a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），先将无理式有理化，消去零因子，再利用极限的四则运算法则进行计算．

例7　求极限

解　先将分子有理化，再利用第一重要极限的结论进行计算．

例8　已知，求常数a、b．

解法一　由已知极限存在且，知，故．

解法二　由已知极限存在知

故即

例9　讨论极限．

解　由可知，

0<a<1时，，故；

a=1时，；

a>1时，，故．

所以，

例10　当x→0时，4xtan3x与tanx-sinx哪个是高阶无穷小？

解　由于，故当x→0时，4xtan3x为x的四阶无穷小．

而，所以tanx-sinx为x的三阶无穷小．

故当x→0时，4xtan3x为tanx-sinx的高阶无穷小．

例11　讨论函数

在点x=0处的连续性．

故f（0-）≠f（0+），因而不存在，故f（x）在点x=0处不连续．

例12　设函数f（x）在［0，2a］上连续，且f（0）=f（2a），证明至少存在一点ξ∈［0，a］使f（ξ）=f（a+ξ）．

证明　设F（x）=f（x）-f（a+x），F（x）在［0，a］上连续，且

F（0）=f（0）-f（a），F（a）=f（a）-f（2a）=f（a）-f（0）=-［f（0）-f（a）］．

若f（0）=f（a），则ξ=0或ξ=a即为所求；

若f（0）≠f（a），则F（0）F（a）<0，由零点定理知至少存在一点ξ∈（0，a），使F（ξ）=0，即f（ξ）=f（a+ξ）.

综上，至少存在一点ξ∈［0，a］，使f（ξ）=f（a+ξ）．

例13　选择题：

1. （考研真题：2017年数学一、二、三）若函数在x=0处连续，则__________．

A.
B.
C. ab=0
D. ab=2

解　选A．

要使函数在x=0处连续，必须满足．

2. （考研真题：2016年数学二）设，当x→0+时，以上三个无穷小量按从低到高阶排序是__________．

A. α1，α2，α3
B. α2，α3，α1
C. α2，α1，α3
D. α3，α2，α1

解　选B．

当x→0+时，．

3. （考研真题：2015年数学二）函数在（－∞，+∞）内__________．

A. 连续
B. 有可去间断点
C. 有跳跃间断点
D. 有无穷间断点

解　选B．

，x≠0，故f（x）有可去间断点x=0．

4. （考研真题：2014年数学一）下列曲线有渐近线的是__________．

A. y=x+sinx
B. y=x2+sinx
C.
D.

解　选C．

只需要判断哪个曲线有斜渐近线即可．

对于，可知且，所以有斜渐近线y=x．

5. （考研真题：2003年数学一）设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且，则必有__________．

A. an<bn对任意n成立．
B. bn<cn对任意n成立．
C. 极限不存在．
D. 极限不存在．

解　选D．

本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除A和B；

而极限是0·∞型未定式，可能存在也可能不存在，举反例：

取；

极限属1·∞型，必为无穷大，即不存在．

例14（考研真题：2016年数学三）若，则a=_____，b=_____．

解　因为，且，所以，得a = 1．极限化为

，得b=-4．

因此，a=1，b=-4．

例15（考研真题：2006年数学一）．

解　本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可．