2.3 静态条件物像共轭关系

物像共轭关系矩阵表明了物像在各自基底坐标系中的相互关系，直接反映物像的空间关系，研究物像关系应考虑基底空间的变换。

2.3.1 光学系统的作用矩阵

光学系统可由多个光学部件组成，设各部件间的相对位置固定不变，系统总的物空间基底坐标系为oxyz，像空间基底坐标系为o′x′y′z′。物矢量经光学系统成像为，像矢量在o′x′y′z′三轴上的投影为。物像因矢量不同，表示的坐标也不同，故：

将空间坐标基底转换矩阵关系式（2-5）代入式（2-62）可得：

记为：

下角标表示矢量在相应的坐标系中标定。该式表明了同一矢量分别在物像空间标定下的变换关系。

由物像共轭关系式可知：

将式（2-65）代入式（2-64）中可得：

记为：

式（2-67）为光学系统的静态物像共轭关系式，式（2-68）为光学系统的作用矩阵。可证明当矢量同在像坐标系o′x′y′z′内标定时有：

式（2-67）与式（2-69）中的矢量为自由矢量，在会聚光路中表示某一点位置时，需要o与o′点来定位，o与o′点为基底坐标原点，为一对轴上物像共轭点，由此即可求出任何物像点的共轭关系。

2.3.2 位置作用矩阵

位置作用矩阵用于会聚光路，设光学系统由N个位于会聚光路中的元件或部件组成，如图2.21所示。

物像矢量统一到oxyz坐标系中标定时，其作用矩阵为：

物像矢量统一到像坐标系o″x″y″z″中标定时，其作用矩阵为：

式（2-72）中，R₀₁、R₀₂、分别为元件1、元件2、元件n的基底矩阵；B₁、B₂、…、B_n为相应的倍率矩阵。

式（2-73）为总的基底矩阵

式（2-74）为总的倍率矩阵

由倍率矩阵的定义，将物点A依次经过系统中各元件成像，可得：

倍率矩阵为对角矩阵，满足交换律：

光学系统各元件（图2.21），取系统总基底矩阵为：

代入式（2-79）得：

当物像矢量统一到像坐标中标定时，可得：

系统中的基底变换元件可从系统中单独分离出来讨论，倍率元件亦是如此。通常，基底转换矩阵的乘积秩序不满足交换律。在一些特殊情况下，作用矩阵形式较简单。

系统由共轴球面透镜组成：

当A点接近物面yoz平面时，β₀=β_A，则：

系统由平面反射镜系统和棱镜系统组成B=E，可得：

例题2.5：动态光学系统（图2.22）中，元件2、3、4组成稳像部件，已知，，求该部件的作用矩阵

解：

2.3.3 方向作用矩阵

平行光路中的作用矩阵为方向作用矩阵时，有与会聚光路相同的形式，在物坐标中标定时，可得：

在像坐标系中标定时，可得：

特殊情况下，系统为n个无转像部件的望远系统时，其作用矩阵为各部件倍率矩阵之积：

式中，Γ为系统总的视放大倍率；Γ₁Γ₂…Γ_n为各部件的放大倍率。

系统由n个无倍率部件组成（Γ=1）：平板玻璃、平面反射镜、棱镜系统。作用矩阵为各元件的基底矩阵之积：

例题2.6：求望远镜部件（图2.23）的作用矩阵，已知=200，=250，别汉屋脊棱镜作为转像光学元件。

2.3.4 方位作用矩阵

光学系统位于平行会聚光路中时，静态物像共轭关系由方位作用矩阵表示。设系统由n个部件组成，系统的物方为平行光路，像方为会聚光路，系统中各部件光路性质及次序如图2.24所示。

方位作用矩阵为：

式（2-100）中，B₁、B₂…B_i-1为方向倍率矩阵；B_i+1…B_n为位置倍率矩阵；B_n为R_i元件的方位共轭关系矩阵。

特殊情况下，当系统总焦距为f′，整个系统各部件中均无转像元件时，可得：

例题2.7：求图2.25所示光学系统的作用矩阵

解：光学元件1、光学元件2和光学元件3组成一个望远系统

光学元件4位于平行会聚光路。

故光学系统的作用矩阵为：

位置、方向和方位作用矩阵统称为作用矩阵。作用矩阵表明了光学系统静态物像的共轭关系，即系统中各部件处于设计零位或运动量为零时的物像共轭关系。