1.3 有限元的解题步骤

有限元法的解题步骤可归纳如下：

（1）建立积分方程。根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。

（2）划分区域单元。根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域划分为若干个相互连接、不重叠的单元。划分区域单元是采用有限元法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系，还要表示节点的位置坐标，同时需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

（3）确定单元基函数。根据单元中的节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。

（4）单元分析。将各个单元中的求解函数使用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数（即单元中各节点的参数值）的代数方程组，称为单元有限元方程。

（5）总体合成。在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。

（6）处理边界条件。一般边界条件有3种形式，分为本质边界条件（狄利克雷边界条件）、自然边界条件（黎曼边界条件）、混合边界条件（柯西边界条件）。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足；对于本质边界条件和混合边界条件，则需按照一定法则对总体有限元方程进行修正来得到满足。

（7）求解有限元方程。根据边界条件修正的总体有限元方程组，是包含所有未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。