2.2 摄像机的线性和非线性模型
在计算机视觉中，场景中的三维空间点与图像平面上的对应成像点之间的关系由摄像机成像几何模型决定。2.1节中的成像模型是基于摄像机针孔模型建立的，摄像机针孔模型也称为摄像机线性模型。在很多情况下，摄像机因为光学成像原因，生成的图像会产生畸变，这种含有畸变的摄像机模型称为摄像机的非线性模型。本节对摄像机的线性模型和摄像机的非线性模型进行简要介绍。
2.2.1 摄像机的线性模型
在世界坐标系Wxyz下，摄像机的线性模型可形式化描述为：设B(xW,yW,zW,1)T为任意空间点，空间点B投影到图像平面I上为图像点A，图像点A以像素为单位，表示为A(u,v,1)T。在针孔模型下，空间点B、图像点A与摄像机光心C在同一条直线上。图像点A与空间点B之间可以通过式（2-8）描述。
λA=K[R T]B （2-8）
式中，λ为比例因子；K为摄像机内参数矩阵；R为世界坐标系到摄像机坐标系的3×3旋转矩阵；T为摄像机光心C相对于原点W的3×1平移向量。
从式（2-8）中可以看出，在摄像机线性模型下，在摄像机标定过程中需要确定的参数有摄像机内参数矩阵K、摄像机旋转矩阵R和摄像机平移向量T。
2.2.2 摄像机的非线性模型
实际上，由于摄像机加工等原因，大多数商业摄像机存在严重的光学畸变。在摄像机存在光学畸变的情况下，针孔模型不能有效地描述成像过程，此时需要考虑摄像机畸变因素。对摄像机的畸变参数估计是摄像机标定的重要步骤，也是视觉测量的重要研究内容。
摄像机畸变首先于1919年由Conrady提出，随后D. C. Brown于1971年提出了著名的Brown-Conrady畸变模型[82]。Brown-Conrady畸变模型为摄像机非线性模型的研究奠定了基础，目前已广泛应用于各种摄像机校正模型中。
摄像机的线性模型描述了在理想状态下的摄像机成像过程。通常情况下，图像会因为摄像机镜头光学结构不完美或镜头没有对齐而产生畸变。也就是说，从三维空间点B到二维图像点A之间的映射不会完全遵循线性映射关系，即图像点会产生畸变。如图2.6所示，空间点B在针孔模型下的像素点为A(up,vp,1)T，空间点B在图像平面I上的实际图像点坐标为D(ud,vd,1)T。因此，在求解摄像机模型参数前，需要对畸变图像进行校正，即将图像点D校正到图像点A。
图2.6 图像径向畸变模型
摄像机畸变主要有径向畸变和切向畸变两种。
1. 径向畸变
径向畸变是由摄像机镜头的径向曲率变化导致的，如图2.6所示。径向畸变的数学模型为
式中，(u0,v0)T为摄像机的主点；rp2=(up−u0)2+(vp−v0)2；∆up=up−u0；∆vp=vp−v0。
在上述畸变模型公式中，径向畸变通过系数k1,k2,…进行描述。当径向畸变系数k1,k2,…为负数时，称为桶形失真；当径向畸变系数k1,k2,…为正数时，称为枕形失真。其具体示例如图2.7所示。
图2.7 畸变失真示例
2. 切向畸变
切向畸变是由摄像机镜头中心不共线造成的，切向畸变的数学模型为
由式（2-10）可知，切向畸变通过系数p1、p2进行描述。式（2-10）为只考虑二阶切向畸变的畸变模型。
目前，大多数摄像机均存在畸变现象，特别是当被测物体景深较大或采用的摄像机镜头质量不高时，畸变现象会比较严重。因此，在摄像机成像模型确定过程中一般必须考虑摄像机的畸变校正过程。在摄像机非线性模型的情况下，摄像机的标定参数主要包括摄像机的畸变参数、摄像机内参数矩阵K、摄像机旋转矩阵R和摄像机平移向量T。