第四节 作用在平面壁上的静水总压力计算

一、问题提出

在水利工程中，有很多水工建筑物受压面为平面，如矩形平板闸门、圆形盖板闸门、土石坝坝面等，这些建筑物的结构安全与静水压力有直接关系，因此，平面壁静水压力计算是静水力学计算的主要问题之一。下面以矩形平板闸门和圆形盖板闸门的静水压力计算为例说明计算方法思路。

为了控制水流、抬高水位常常需要修建闸门。矩形平板闸门就是其中最为普遍的一种，所用材料有钢材、钢筋混凝土、木材等。无论用哪种材料，在设计制造闸门时，首先需要知道闸门在工作时所受的静水压力大小，这是闸门制造的重要依据。

另外，对于小型水库放水洞常用圆形盖板闸门，其受力问题也是比较常见的静水压力计算问题。当然，这些计算方法也可以推广到其他平面。

二、作用在平面壁上静水压强分布图绘制

由静水压强方程式p=γh可知：压强p与水深h呈线性函数关系。所以可用几何图形清晰地表示出受压面上压强与水深的函数关系，这种图形称为静水压强分布图，简称压力图。

如图1-17（a）所示，是一个铅直放置的平面闸门AB的静水压强分布图。它的绘制方法是：由p=γh确定静水中任一点压强的大小，以静水压强的特性来确定压强的方向。按一定比例尺，用箭杆长度表示其大小，用箭头标出其方向。

绘制受压面为平面的压力图时，可选受压面最上（或水面）和最下两点，用式p=γh计算出点压强的大小，按一定比例绘于图上；因p与h成直线关系，所以连接A、C两点，即得静水压强分布图［图1-17（a）］。

受压面无论是斜面，折面或曲面，根据静水压强的特性和基本方程式都可绘出压力图。

现将工程上常见的几种情况绘出其压力图，如图1-17和图1-18所示。

总之，绘制平面上的压力图，要记住：各点的压强大小由γh来决定，水深多少就画多长，方向总是垂直指向受压面，然后连接各点箭杆的尾部。可以将绘制静水压强分布图的方法步骤形象地总结为15字绘图口诀：取两点，算压强，定箭杆，连直线，绘分布。

压力图的形状大体有三种基本形状，即受压平面一端在水面的，压力图为直角三角形,如图1-18(a)所示；受压平面淹没在水下的，压力图一般为直角梯形,如图1-18(c)中BC面；在水面下水平放置的平面，其压力图为矩形，如图1-18(d)所示。

三、作用在矩形平面壁上静水总压力计算——以矩形平板闸门为例

静水总压力的计算内容包括：确定静水总压力的大小，方向和作用点。

1.静水总压力的大小

由于压强分布图反映了单位宽度上压强的分布规律和大小，压强分布图的面积就应等于作用在单位宽度上的静水总压力，因此，矩形受压平面所受的静水总压力的大小就等于压强分布图的面积乘以受压面的宽度，即

式中 s——静水压强分布图的面积，kN/m；

b——闸门（受压面）宽度，m。

这样，对于图1-19所示的梯形压强分布图。

对于压强分布图为三角形（图1-20）时

2.静水总压力的方向和作用点

根据静水压强的特性，受压面上各点的压强都垂直受压面，因而，其合力即静水总压力的方向必然垂直于受压面。

总压力P的作用线与受压面的交点，即总压力的作用点，称压力中心，用D表示。在闸门宽度方向上，D位于对称轴上；在水深方向上，用D至受压面底缘的距离e表示压力中心的位置。

矩形平面壁上总压力P的作用线必通过压力图形心（注意要和受压面形心区别开），并垂直于受压面，而且落在受压面的对称轴上。

压力中心D的位置e可用平行力求合力作用点的方法计算。

当压强分布图为三角形（图1-20）时

当压强分布图为梯形（图1-19）时

对于较复杂的压强分布图，可分成三角形、矩形或梯形等简单图形，先求分力、再求合力和合力作用线位置。

综上所述，矩形平板闸门静水总压力计算的图解步骤如下：

（1）绘制静水压强分布图。

（2）计算静水压强分布图的面积s。

（3）计算静水总压力的大小P=sb。

（4）确定压力中心D位置e，并在图上标出D和总压力P的作用线。

四、作用在任意平面壁上的静水总压力计算——以圆形盖板闸门为例

1.静水总压力的大小

如图1-21所示，为一圆形平板闸门倾斜放置在水面以下。图中圆形平面面积为A、形心为C、形心在水面下的深度为h_C。取坐标平面xoy与该受压平面重合，与水平面的交角为α，x轴与水面重合。将xoy平面绕y轴转90°，即把该平面转展在纸面。静水总压力P的作用点D在水面下的深度为h_D，沿oy轴的距离为y_D。

由工程力学知，静水总压力

式中 h_C——受压面形心C点的水深，m；

p_C——受压面形心C点的静水压强，kPa;

A——受压面面积,m²。

式（1-26）是任意形状平面壁上静水总压力的计算公式。它表明，任意形状平面壁上所受静水总压力的大小，等于受压面面积与其形心处静水压强的乘积。

2.静水总压力的方向和作用点

根据静水压强特性，静水总压力的方向，必然垂直并指向受压平面。

通常受压面为纵向对称轴的平面，压力中心必然位于对称轴上。具体位置一般用y_D表示（图1-21），可根据合力矩定理推求，即由各分力对ox轴的力矩的关系来推求，即

设I_C为面积A对通过其形心C且与ox平行的轴的惯性矩，由工程力学知

代入上式得

因为，所以y_D＞y_C，即压力中心D的位置比受压面形心C的位置低。

对于一定形状尺寸的图形，I_C、A都是定值。为了便于计算，将几种常见图形的A、y_C、I_C值列于表1-3。

【例1-6】 如图1-22所示，在某一输水渠道中，有一矩形平板闸门，宽度b=1.2m，闸前水深h=1.6m。求作用在闸门上的静水总压力。

首先绘制静水压强分布图，如图1-21（b）所示的三角形。作用在闸门上的静水总压力大小P按式（1-25）计算，即

压力中心D距闸门底缘的距离：

【例1-7】 如图1-23所示，为一引水涵洞，设置闸门为铅直的平板门，闸门高2m，宽3m，上方有挡水胸墙。最大洪水位时上游水深为5m，求闸门上的静水总压力。

方法一：绘制闸门上的静水压强分布图，如图1-22所示的梯形。总压力大小P按式（1-24）计算，即

=235.2（kN）

压力中心D至上游河底的距离为

方法二：在计算静水总压力时，可将梯形压强分布图划分成一个三角形和一个矩形。梯形面积s应等于三角形面积s₂与矩形面积s₁之和，即

式中 P₁——矩形面积产生的压力；

P₂——三角形面积产生的压力。

只要分别计算出这两部分的压力，即可得到总压力P。

计算压力中心可以应用合力矩定理来求解，即合力对某轴的力矩等于其各分力对同轴力矩的代数和。

P₁距门底的力臂

P₂距门底的力臂

设总压力P距门底的力臂为e,则

总压力作用点D距水面的深度为

【例1-8】 如图1-21所示，为一圆形平板闸门，半径r=0.5m，α=45°，闸门上边缘距水面深度为1m，求闸门所受的静水总压力。