2.1 开环控制的直流调速系统及其数学模型

2.1.1 晶闸管整流器-直流电动机调速系统

图2-1所示为晶闸管整流器-直流电动机调速系统（简称V-M系统）的原理框图，图中VT是晶闸管整流电路，为直流电动机提供可控直流电源，GT是晶闸管整流电路的控制器，称为调节触发装置（简称触发器）。通过调节GT的控制电压U_ct来移动触发脉冲的相位，改变可控整流电路的平均输出直流电压U_d。晶闸管可控整流器的功率放大系数在10⁴以上，门极电流可以直接通过触发器来控制，晶闸管整流器的响应时间是毫秒级，因此，具有快速的控制作用。V-M系统具有运行损耗小，效率高的优点。

在理想情况下，U_ct和U_d之间呈线性关系：

式中，U_d为平均整流电压；U_ct为控制电压；K_s为晶闸管整流器放大系数。

1.整流器的相位控制方式及工作情况

在图2-1所示的V-M系统中，调节控制电压U_ct，可以移动触发器GT输出脉冲的相位，即可方便地改变可控整流电路VT输出瞬时电压u_d的波形，以及输出平均电压U_d的数值。在分析V-M系统的主电路时，如果把整流装置内阻R_rec移到装置外边，看成是其负载电路电阻的一部分，这样，图2-1所示V-M系统的主电路可以用图2-2所示的等效电路来描述。

从而整流电压便可以用其理想空载瞬时值u_d0和平均值U_d0来表示。这时，瞬时电压平衡方程式可写作

式中，E为电动机反电动势（V）；i_d为整流电流瞬时值（A）；L为主电路总电感（H）；R为主电路总电阻（Ω），R=R_rec+R_a+R_L；R_rec为整流装置内阻（Ω），包括整流器内部的电阻、整流器件正向电压降所对应的电阻、整流变压器漏抗换相电压降相应的电阻；R_a为电动机电枢电阻（Ω）；R_L为平波电抗器电阻（Ω）。

从一个自然换相点到下一个自然换相点为一个周期，对u_d0在一个周期内进行积分，再取平均值，即得理想空载整流电压的平均值U_d0。

用触发脉冲的触发延迟角α控制整流电压的平均值U_d0是晶闸管整流器的特点。U_d0与触发脉冲触发延迟角α的关系因整流电路的形式而异，对于一般的全控整流电路，当电流波形连续时，U_d0=f（α）可表示为

式中，α为从自然换相点算起的脉冲触发延迟角；U_m为α=0时的整流电压波形峰值；m为交流电源一周内的整流电压脉波数。

当电流波形连续时，不同整流电路的平均整流电压见表2-1。

由式（2-3）可知，当0＜α＜时，U_d0＞0，晶闸管装置处于整流状态，电功率从交流侧输送到直流侧；当^＜α＜α_max时，U_d0＜0，晶闸管装置处于有源逆变状态，电功率反向传送。

2.电流脉动及其波形的连续与断续

图2-2所示是一个带R-L-E负载的可控整流电路，以单相全控桥式主电路为例，其输出电压和电流波形如图2-3所示。只有在整流变压器二次侧额定相电压的瞬时值u₂大于反电动势E时，晶闸管才可能被触发导通。导通后如果u₂降低到E以下，靠电感作用可以维持电流i_d继续流通。由于电压波形的脉动，造成了电流波形的脉动。

脉动的电流波形使V-M系统主电路可能出现电流连续和断续两种情况。当V-M系统主电路有足够大的电感量，而且电动机的负载电流也足够大时，整流电流便具有连续的脉动波形，如图2-4a所示。当电感较小或电动机的负载电流较小时，在瞬时电流i_d上升阶段，电感储能，但所存储的能量不够大；等到i_d下降时，电感中的能量释放出来维持电流导通，由于储能较少，在下一相尚未被触发之前，i_d已衰减到零，于是造成电流波形断续的情况，如图2-4b所示。

在V-M系统中，脉动电流会增加电动机的发热，同时也产生脉动转矩，对生产机械不利。此外，电流波形的断续给用平均值描述的系统带来一种非线性的因素，也引起机械特性的非线性，影响系统的运行性能。因此，实际应用中希望尽量避免发生电流断续。

为了避免或减轻电流脉动的影响，需采用抑制电流脉动的措施，主要有：

1）增加整流电路相数，或采用多重化技术。

2）设置电感量足够大的平波电抗器。

3.晶闸管整流器-电动机系统的机械特性

当电流波形连续时，V-M系统的机械特性方程式为

式中，C_e为电动机在额定磁通下的电动势系数，C_e=K_eΦ_N。

整流电压的平均值U_d0=f（α）见式（2-3）。改变移相触发延迟角α可得到不同的U_d0，相应的机械特性为一簇平行的直线，如图2-5所示。图中电流较小的部分画成虚线，表现此时电流波形可能断续，此时式（2-4）和式（2-3）已经不适用了。

当电流断续时，由于非线性因素，机械特性方程要复杂得多。以三相半波整流电路构成的V-M系统为例，电流断续时的机械特性可用下列方程组表示：

式中，φ为阻抗角，φ=arctan；θ为一个电流脉冲的导通角。

当阻抗角φ值已知时，对于不同的移相触发延迟角α，可用数值解法求出一簇电流断续时的机械特性（应注意：当α＜时，特性略有差异，对于每一条特性，求解过程都计算到θ=为止，因为θ再大时，电流便连续了。对应于θ=的曲线是电流断续区与连续区的分界线）。

图2-6绘出了完整的V-M系统机械特性，其中包含了整流状态和逆变状态、电流连续区和电流断续区。由图可见，当电流连续时，特性还比较硬；断续段特性则很软，而且呈显著的非线性上翘，使电动机的理想空载转速很高；连续区和断续区的分界线对应于θ=的曲线。只要电流连续，晶闸管整流器就可以看成是一个线性的可控电压源。

4.晶闸管整流器运行中存在的问题

晶闸管整流器存在的问题如下：

1）晶闸管是半控型开关器件，只能单向导电，给电动机的可逆运行带来困难。对于可逆系统必须采用正反两组晶闸管整流电路（本书第5章讨论直流可逆调速系统）。

2）晶闸管对过电压、过电流和过高的du/dt与di/dt都十分敏感，其中任一指标超过允许值都可能在很短的时间内损坏晶闸管。不过，现代的晶闸管应用技术已经成熟，在装置设计合理、保护电路齐备的前提下，晶闸管可控整流器的运行已是十分可靠了。

3）晶闸管的可控性是基于对其门极的移相触发控制，在较低速度运行时，晶闸管的导通角很小，使得系统的功率因数也随之减少，在交流侧会产生较大的谐波电流，引起电网电压的畸变，被称为“电力公害”。解决此问题通常在电网中增设无功补偿装置和谐波滤波装置，或采用先进的PWM整流器。

2.1.2 直流PWM变换器-直流电动机调速系统

随着全控型电力电子器件的全面应用，出现了脉宽调制变换器-直流电动机调速系统，称直流PWM调速系统（简称PWM-M系统）。与V-M系统相比，直流PWM调速系统在很多方面有较大的优越性：

1）主电路简单，需要的电力电子器件少。

2）开关频率高，电流容易连续，谐波少，电动机损耗及发热都较小。

3）低速性能好，稳速精度高，调速范围宽。

由于上述优点，直流PWM调速系统的应用日益广泛，特别在中、小容量的高动态性能系统中，已经取代了V-M系统。

1. PWM变换器的工作状态和电压、电流波形

PWM变换器的作用：用脉冲宽度调制的方法，把恒定的直流电源电压调制成频率一定、宽度可变的脉冲电压序列，从而可以改变平均输出电压的大小。

PWM变换器电路有多种形式，总体上可分为不可逆与可逆两大类，本章着重分析不可逆PWM变换器（可逆PWM变换器的分析见第5章）。

图2-7a是简单的不可逆PWM变换器-直流电动机系统主电路原理图，其中电力电子开关器件为IGBT（也可用其他全控型开关器件），这样的电路又称直流降压斩波器。

VT的门极由脉宽可调的脉冲电压U_g驱动，在一个开关周期T内，当0≤t≤t_on时，U_g为正，VT饱和导通，电源电压U_s通过VT加到直流电动机电枢两端。当t_on≤t<T时，U_g为负，VT关断，电枢电路中的电流通过续流二极管VD续流，直流电动机电枢电压近似等于零。因此，直流电动机电枢两端的平均电压为

改变占空比ρ（0≤ρ≤1）,即可改变直流电动机电枢平均电压，实现直流电动机的调压调速。

若令γ=为PWM电压系数，则在不可逆PWM变换器中有

图2-7b中绘出了稳态时电枢两端的电压波形u_d=f（t）和平均电压U_d。同时绘出了稳态时电枢电流i_d=f（t）的脉动波形，其平均值等于负载电流I_dL=（T_L和C_m分别表示负载转矩和转矩系数）。图中还绘出了电动机的反电动势E，由于PWM变换器的开关频率高，电流的脉动幅值不大，再影响到转速和反电动势，其波动就更小了，一般可以忽略不计。

图2-7a所示的简单的不可逆PWM变换器-直流电动机系统，续流二极管VD的作用只是为i_d提供一个续流的通道。如果要实现电动机的制动，必须为其提供反向电流通道，图2-8a所示的是有制动电流通路的不可逆PWM变换器-直流电动机系统。图中VT₂和VD₁的功能是构成反向电枢电流通路，因此VT₂被称为辅助管，而VT₁被称为主管。VT₁和VT₂的驱动电压大小相等，极性相反，即U_g1=-U_g2。图2-8a的电压和电流波形有三种不同情况，分别示于图2-8b、图2-8c和图2-8d，其中，图2-8b是电动状态的波形，图2-8c是制动状态的波形，图2-8d是轻载电动状态的电流波形。

在电动状态中，i_d始终为正值（其正方向见图2-8a）。设t_on为VT₁的导通时间，则在0≤t<t_on期间，U_g1为正，VT₁导通，U_g2为负，VT₁关断。此时，电源电压U_s加到电动机电枢两端，电流i_d沿图中的回路1流通。在t_on≤t<T期间，U_g1和U_g2都改变极性，VT₁关断，但VT₂却不能立即导通，因为i_d沿回路2经二极管VD₂续流，在VD₂两端产生的电压降给VT₂施加反压，使它失去导通的可能。因此，实际上是由VT₁和VD₂交替导通。一般电动状态下的电压和电流波形（见图2-8b）和简单的不可逆电路波形（见图2-7b）完全一样。

在制动状态时，i_d为负值，VT₂就发挥作用了。这种情况发生在电动运行过程中需要降速的时候。这时，先减小控制电压，使U_g1的正脉冲变窄，负脉冲变宽，从而使平均电枢电压U_d降低。但是，由于机电惯性，转速和反电动势还来不及变化，因而造成E>U_d的局面，很快使电流i_d反向，VD₂截止，在t_on≤t<T期间，U_g2为正，于是VT₂导通，反向电流沿回路3流通，产生能耗制动作用。在T≤t<T+t_on（即下一周期的0≤t_<t_on）期间，VT₂关断，-i_d沿回路4经VD₁续流，向电源回馈能量。与此同时，VD₁两端电压降钳住VT₁，使它不能导通。在制动状态中，VT₂和VD₁轮流导通，而VT₁始终是关断的，此时的电压和电流波形如图2-8c所示。表2-2中归纳了不同工作状态下的导通器件和电流i_d的回路与方向。

有一种特殊情况，即轻载电动状态，这是平均电流较小，以致在VT₁关断后i_d经VD₂续流时，还没有到达周期T，电流已经衰减到零，如图2-8d中t_on～T期间的t=t₂时刻所示，这时VD₂两端电压也降为零，VT₂便提前导通了，使电流反向，产生局部时间的制动作用。这样，轻载时，电流可在正负方向之间脉动，平均电流等于负载电流，一个周期分成四个阶段，如图2-8d和表2-2所示。

图2-8a所示电路之所以不可逆，是因为平均电压U_d始终大于零，电流虽然能够反向，而电压和转速仍不能反向。

2.直流PWM调速系统的机械特性

由于采用了脉宽调制，即使在稳态情况下，直流PWM调速系统的转矩和转速也都是脉动的。所谓稳态，是指电动机的平均电磁转矩与负载转矩相平衡的状态，机械特性是平均转速与平均转矩（电流）的关系。在中、小容量的直流PWM调速系统中，IGBT已经得到普遍的应用，其开关频率一般在10kHz以上，这时，最大电流脉动量在额定电流的5%以下，转速脉动量不到额定空载转速的万分之一，可以忽略不计。

采用不同形式的PWM变换器，系统的机械特性也不一样，其关键之处在于电流波形是否连续。对于带制动电流通路的不可逆电路，电流方向可逆，无论是重载还是轻载，电流波形都是连续的，因而机械特性关系式比较简单，所以现在以这种情况进行分析。

对于带制动电流通路的不可逆电路（见图2-8），电压平衡方程式分两个阶段：

式中，R、L分别为电枢电路的电阻和电感。

按电压方程求一个周期内的平均值，即可导出机械特性方程式。电枢两端在一个周期内的平均电压是U_d=γU_s。平均电流和转速分别用I_d和T_e表示，平均转速n=，而电枢电感电压降的平均值在稳态时应为零。于是，平均值方程可写为

则机械特性方程式为

或用转矩表示为

式中，C_m为电动机在额定磁通下的转矩系数，C_m=K_mΦ_N；C_e为电动机在额定磁通下的电动势系数；n₀为理想空载转速，与电压系数γ成正比，n₀=。

对于带制动作用的不可逆电路，0≤γ≤1，可以得到图2-9所示的机械特性，位于第Ⅰ、Ⅱ象限。

对于电动机在同一方向旋转时电流不能反向的电路，轻载时会出现电流断续现象，平均电压方程式（2-11）便不能成立，机械特性方程要复杂得多。在理想空载时，I_d=0，理想空载转速会翘到n_0s=。这种情况类似于V-M系统在电流断续区的机械特性，是一段非线性的曲线。当负载大到一定程度时，电流开始连续，才具有式（2-12）或式（2-13）的线性特性。

2.1.3 开环直流调速系统的广义数学模型

建立开环直流调速系统的数学模型就是建立晶闸管整流器直流PWM变换器-直流电动机系统的数学模型。晶闸管整流器、直流PWM变换器-直流电动机系统的数学模型这里称为直流调速系统的广义被控对象的数学模型。

1.电枢系统的广义被控对象的数学模型

由图2-10可知，他励直流电动机系统可分为电枢系统和励磁系统。本小节的任务就是建立这两个部分的数学模型。

（1）电枢系统的数学模型

旋转电枢系统可划分为电枢电路、晶闸管整流器（或直流PWM变换器）及旋转机械（负载）三部分，这三部分的数学模型可以分别建立，然后再组合成统一的数学模型。

1）额定励磁状态下他励直流电动机电枢电路的数学模型。他励直流电动机在额定励磁下的等效电路如图2-11所示，图中，R=R_rec+R_a+R_L为电枢电路总电阻，其中R_rec为整流器内阻（Ω）；R_a为电动机电枢电阻（Ω）；R_L为滤波电抗器电阻（Ω）；L为电枢电路总电感（H）；U_d0为晶闸管整流电路输出的直流空载电压（V）；E_d为电动机的反电动势（V）（正方向已在图中标出）；I_d为整流直流电流（A）。

设电枢电路电流连续，则电枢电路的微分方程式为

在零初始条件下，两边取拉氏变换得

U_d0（s）=RI_d（s）+LsI_d（s）+E_d（s）

将上式中的E_d（s）移到等式左边，并进行整理得到

式中，T_l=L/R为电枢电路的电磁时间常数（s）。

由式（2-15）可得电压与电流间的传递函数为

将式（2-16）绘制成动态结构图形式，如图2-12所示。

2）转矩方程和运动方程及两者的统一方程。在电机学中，已经建立了直流电动机的运动方程和转矩方程，这里，将电动机轴上的动力学方程重写为

式中，GD²为电力拖动系统折算到电动机轴上的飞轮惯量（N·m²）。

额定励磁下的负载转矩和电磁转矩，以及转速和反电动势之间的关系分别为

式中，T_L为负载转矩（N·m）；T_ed为电磁转矩（N·m）；C_m=K_mΦ_d为电动机额定励磁下的转矩系数（N·m/A）；K_m为转矩常数；Φ_d为磁通（Wb）；I_L为负载电流（A）；I_d为电枢电路电流（A）；C_e=K_eΦ_d为电动机额定励磁下的电动势系数（V/r·min^-1），K_e为电动势常数。将式（2-20）代入式（2-17）可得

再将式（2-18）和式2-19）代入式（2-21）中，整理后得

在零初始条件下，对式（2-22）两侧取拉普拉斯变换，则有

将式（2-23）等号右侧项的分子分母均乘以R，并整理可得

式中，T_m=，称为电枢电路的机电时间常数（s）。

依据式（2-24），可求得电流与电动势间的传递函数

将式（2-25）、式（2-20）绘制成动态结构图如图2-13所示。

（2）电力电子变换器的动态数学模型

1）晶闸管触发器GT和整流电路VT的放大系数和传递函数。图2-14给出了晶闸管-电动机调速系统（V-M系统）的原理图，图中VT是晶闸管可控整流电路，GT是触发器。在V-M系统中，通常把晶闸管触发器和整流电路看成一个环节，当进行闭环调速系统分析和设计时，需要求出这个环节的放大系数和传递函数。

这个环节的输入量是触发器的控制电压U_ct，输出量是整流电路的输出电压U_d0，输出量与输入量之间的放大系数K_s可以通过实测特性或根据装置的参数估算而得到。

实测特性法：先用试验方法测出该环节的输入-输出特性，即U_d=f（U_ct）曲线，如图2-15所示。由图可知，该特性是非线性的，只能在一定的工作范围内近似看成线性特性。应用中可按调速范围截取线性段，因而放大系数K_s可由线性段内的斜率决定，即

参数估算法：这是工程设计中常用的方法。例如：当触发器控制电压的调节范围为0~10V时，对应整流器输出电压U_d的变化范围如果是0~220V时，则可估算得到K_s=220/10=22。

在动态过程中，可把晶闸管触发器与整流电路看成一个纯滞后环节，其滞后效应是由晶闸管的失控时间所引起的。下面以单相全波电阻性负载整流波形为例来分析滞后作用以及滞后时间的大小，如图2-16所示。假设t₁时刻某一对晶闸管被触发导通，触发延迟角为α₁，如果控制电压U_ct在t₂时刻发生变化，由U_ct1突降到U_ct2，但由于晶闸管已经导通，U_ct的变化对它已不起作用，整流电压并不会立即变化，必须等到t₃时刻该器件关断后，触发脉冲才有可能控制另一对晶闸管导通。设新的控制电压U_ct2<U_ct1对应的触发延迟角为α₂>α₁，则另一对晶闸管在t₄时刻导通，平均整流电压降低。假设平均整流电压是从自然换相点开始计算的，则平均整流电压在t₃时刻从U_d01降到U_d02，从U_ct发生变化的时刻t₂到U_d0响应变化的时刻t₃之间，便有一段失控时间T_s。

显然，失控时间T_s是随机的，它的大小随U_ct发生变化的时刻而改变，最大可能的失控时间就是两个相邻自然换相点之间的时间，与交流电源频率和整流电路形式有关，由下式确定

式中，f为交流电源频率（Hz）；m为一周内整流电压的脉波数。

相对于整个系统的响应时间来说，T_s是不大的，在一般情况下，可取其统计平均值T_s=T_smax/2。或者按最严重的情况考虑，取T_s=T_smax。表2-3列出了不同整流电路的失控时间。

若用单位阶跃函数表示滞后，则晶闸管触发器与整流器的输入-输出关系为

式中，I（t-T_s）为纯滞后时间，其是T_s的单位阶跃函数。

利用拉普拉斯变换的位移定理，可求出晶闸管触发器与整流电路的传递函数为

由于式（2-29）中包含指数函数，它使系统成为非最小相位系统，分析和设计都比较烦琐。为了简化，先将该指数函数按泰勒（Taylor）级数展开，则式（2-29）变成

考虑到T_s很小，因而可忽略高次项，则传递函数便近似成为一阶线性环节。

晶闸管触发器与整流电路的动态结构图如图2-17所示。

2）PWM-直流电动机调速系统中PWM变换器的数学模型。图2-18所示是简单的不可逆PWM变换器-直流电动机系统框图，其中功率开关器件采用了IGBT（或IGCT、IEGT）。

从图2-18可看出，PWM变换器可以分成PWM控制器和PWM变换器两部分，如图2-19所示。在图2-18中，U_a为PWM变换器输出的直流平均电压；U_g为PWM控制器输出到主电路开关器件的驱动电压；U_ct为PWM控制器的控制电压；U_d为直流电源电压；C为滤波电容器；VT为功率开关器件；VD为续流二极管；M为直流电动机。

结合PWM变换器工作情况可以看出：当控制电压变化时，PWM变换器输出平均电压按线性规律变化，因此，PWM变换器的放大系数可求得，即

与晶闸管变换器不同，PWM变换器采用的是高频自关断功率器件（IGBT、IGCT等），因此在动态过程中，没有失控状态，仅有关断延时时间，最大的时延为一个开关周期T。当开关频率为10kHz时，T=0.1ms。可见PWM变换器输出电压对PWM控制信号的响应延迟可以忽略，可认为是实时的。因此，PWM变换器的数学模型可写成

式（2-33）可以用图2-20来表示。

（3）额定励磁状态下直流电动机的动态结构图

将图2-12和图2-13合并得到图2-21所示的额定励磁状态下的直流电动机电枢系统动态结构图。

由图2-21可以看出，直流电动机有两个输入量，一个是施加在电枢上的理想空载电压U_d0，另一个是负载电流I_L。前者是控制输入量，后者是扰动输入量。如果不需要在结构图中显现出电流I_d，可将扰动量I_L的综合点前移、电动势反馈点后移，再进行等效变换，可得到图2-22a所示的动态结构图。当空载时，I_L=0，结构框图可简化成图2-22b。

由图2-22b可以看到，额定励磁下的直流电动机是一个二阶线性环节，其特征方程为

其中，T_m和T_l两个时间常数分别表示机电惯性和电磁惯性。如果T_m>4T_l，则特征方程的两个根为两个负实数，此时U_d0、n间的传递函数可以分解为两个线性环节，突加给定时，转速呈单调变化；如果T_m<4T_l，则特征方程有一对具有负实部的共轭解，此时直流电动机是一个二阶振荡环节，表明电动机在运行过程中带有振荡的性质。

（4）额定励磁状态下旋转电枢系统的动态结构图

将图2-21与图2-17b合并或者将图2-21与图2-20合并，可获得额定励磁状态下旋转电枢系统的动态结构图，如图2-23所示。

（5）弱磁状态下直流调速系统的广义被控对象数学模型

当磁通Φ_d为变量时，参数C_e=K_eΦ_d、C_m=K_mΦ_d就不再是常数。为了分析问题方便，应使Φ_d在反电动势方程和电磁转矩方程中凸现出来，即

可见，随着Φ_d的变化，E_d、T_ed也随着变化。

依据图2-23以及式（2-34）、式（2-35）可得到弱磁状态下的模型结构图，如图2-24所示。

由图2-24可以看出，在弱磁状态下，电磁转矩形成环节（T_ed=C_mI_d=K_mΦ_dI_d）和反电动势形成环节（E_d=C_en=K_eΦ_dn）出现两个变量相乘（Φ_dI_d、Φ_dn）的情况，这样，在直流电动机的数学模型中就包含了非线性环节。还应该看到，机电时间常数

因其中Φ_d的减小而变成了时变参数。由此可见，在弱磁过程中，直流调速系统的被控对象数学模型具有非线性特性。这里需要指出的是，图2-24所示的动态结构图中，包含线性与非线性环节，其中只有线性环节可用传递函数表示，而非线性环节的输入与输出量只能用时域量表示，非线性环节与线性环节的连接只是表示结构上的一种联系，这是在应用中必须注意的问题。

2.他励直流电动机励磁电路的数学模型及其动态结构图

他励直流电动机励磁电路与电枢电路各自独立（见图2-10），在电气上没有联系。励磁电路的数学模型通常分为两种情况来考虑。

（1）忽略磁场电路涡流影响时的数学模型

1）励磁绕组电路的数学模型。电动机励磁电流I_f和励磁电压U_f间的关系为惯性环节，其时间常数较大（最大时间常数可达几秒），所以在系统中一般看成是大惯性环节，其传递函数为

式中，R_f电动机励磁电路电阻；L_f电动机励磁电路电感；T_f励磁电路时间常数。

将式（2-37）绘制成动态结构图，如图2-25所示。

2）触发器与整流电路的数学模型。

将式（2-38）绘制成动态结构图，如图2-26所示。

3）励磁系统数学模型的动态结构图。将图2-25和图2-26合并，即得到励磁系统数学模型的动态结构图，如图2-27所示。

（2）考虑磁场电路涡流及磁化曲线非线性影响时的数学模型

当电动机磁场电路损耗很小时，可以忽略涡流影响。近似认为励磁电流I_f的变化能够反映磁通Φ_d的变换，但是当电动机磁场电路存在较大涡流时，则励磁电流只有一部分产生磁通Φ_d，而另一部分就是涡流。此时磁场电路的等效电路如图2-28所示。

图2-28中，R_f励磁绕组电阻；L_Φ励磁绕组电感；L_fm励磁绕组漏感；I_k涡流阻尼等效电流；I_Φ产生磁通的励磁电流；R_k涡流阻尼等效电阻。

根据磁场电路的等效电路，则有

式中，T_k=为涡流阻尼时间常数。一般励磁绕组电感L_Φ远远大于励磁绕组漏感L_fm，所以可以忽略L_fm，于是有

式中，T_fb=为考虑涡流后的励磁电路时间常数。

由励磁电路的等值电路可知

故

磁通Φ_d和产生它的电流I_Φ之间的关系是由电动机的磁化曲线来描述的，如图2-29所示。磁化曲线为非线性，经分段线性化之后，则I_Φ与Φ_d的关系可以表示成

Φ_d=K_ΦI_Φ

故

由于电动机的磁化曲线的非线性，因而K_Φ值大小与电动机磁路饱和程度有关。根据电动机磁场电路U_f、I_f、I_Φ、Φ_d各量之间的相互关系，可以得到励磁系统的动态结构图，如图2-30所示。