含沙射流的水沙运动特性研究

张磊1,2,关见朝1,2，王大宇1,2,王友胜1,2

(1.中国水利水电科研究研究泥沙研究所，北京　100048；2.水利部水沙科学与江河治理重点实验室，北京　100048)

【摘　要】　本文基于两相流理论下的两相浑水模型推导了含沙射流中弥散速度的本构关系，式中体现了颗粒惯性、相间相互作用等对含沙射流运动的影响。在此基础上，利用含沙射流浓度分布和速度分布具有相似解的性质，得到了泥沙颗粒的浓度和速度分布方程。并与Hall等浓度和速度试验资料进行了对比。结果表明，无论泥沙浓度高低，本文理论由于考虑了颗粒相间作用力、颗粒惯性等多因素的影响，使得计算值能够与实测值相吻合。

【关键词】　含沙射流；泥沙浓度；速度；分布

基金项目：国家国际科技合作专项(2015DFR70980);国家自然科学基金青年项目(51609264);中国水利水电科学研究院科研专项(SE0145B332017;SE0145B702017)。

作者简介：张磊(1988—　)，女，内蒙古赤峰人，工程师，博士，主要从事泥沙基础理论研究。

E-mail：lei207b@163.com

1　研究背景

与明渠挟沙水流的研究相比，目前对于含沙射流的研究主要是通过试验观测得到一些定性的结论。在早期，Singamsetti(1966)基于试验观测，通过量纲分析发现，在射流的主流区含沙射流的轴向速度分布遵循自相似的高斯分布。但是，由于分析过程中假定了泥沙和水流的速度完全一致，所以他们的结论无法反映出固相颗粒和液相水流之间的区别。随着试验设备的更新和发展，Parthasarathy和Faeth(1987)利用激光多普勒测速仪(Laser Doppler Anemometer)分别观测到了射流中固相和液相的速度分布和紊流特征，为后续的含沙射流研究提供了系统、完整的试验资料。近年来，也有许多学者开展了射流的试验研究，例如，Muste等(1998)利用DLDV和PTV同样观测了射流中泥沙和水流的速度分布；Jiang等(2005)利用瞬时全场测速工具——离子图像测速技术得到了射流中泥沙和水流的平均和脉动流速分布。

需要说明的是，以上所述的试验研究均是在低浓度的情况下开展的，同时假定了颗粒与水流间的相互作用可以忽略不计(Yan等,2008)。随着泥沙浓度的增大，相间作用力的影响将会变得越发明显，而受到试验方法和设备的限制，在高浓度情况下，以传统观测手段是无法得到准确的浓度和速度分布的，这也是含沙射流试验研究中的最大难点。最近，Hall等(2010)在这方面取得了突破性的进展。利用一种新颖的光学探测技术得到了较高浓度下颗粒的浓度和速度分布，试验中的初始浓度变化范围在0.055～0.124，这也为我们研究高浓度含沙射流提供了可靠的试验数据。

相比于试验研究，由于含沙射流运动的复杂性，目前开展的理论研究相对较少，得到的一般都是经验或半经验公式，或是借用已有的模型开展含沙射流的研究，例如，Al Taweel和Landau(1977)和Sun and Faeth(1986)利用比较成熟的模型研究了含沙射流的流动特性；Huai等(2013)在利用两相浑水模型研究浆体射流时同样利用模型进行方程的封闭。除此之外，Ooms等(2002)在水流速度的基础上利用统计分析的方法得到了泥沙颗粒的速度分布，由此可以推知，该方法中无法体现出固液相间作用力以及颗粒惯性对含沙射流的影响。Jiang等(2005)在开展试验研究的同时也从理论上利用两相流理论对含沙射流的运动特征进行了研究。在其理论中，假定了固相和液相之间的速度差为颗粒沉速，未考虑颗粒间相互作用、颗粒惯性等因素的影响。

本文将基于两相流理论下的两相浑水模型，研究含沙射流的运动特性。具体来说，利用摄动理论求得含沙射流中弥散速度的表达式。在此基础上，利用含沙射流的相似解特征，求得泥沙浓度和速度的分布函数。通过与实测对比验证理论的正确性。

2　含沙射流中弥散速度的本构关系

本文研究的是圆形射流，为了方便推导，我们采用轴对称坐标来描述含沙射流的运动。这样，固相的动量守恒方程可以表示为

(1)

式中：下角标f时表示液相流体，p时为固相颗粒；αk为体积浓度，满足αp+αf=1；vki为k相在i方向的速度；ρk为k相的密度；pf为压力；应力张量可表示为其中为黏性应力，为紊动应力，包括小尺度和大尺度的雷诺应力；为除拖曳力之外的其他外力之和。

通过引入弥散速度的概念，单相的速度可以分解为

(2)

式中：为k相的弥散速度；为体积加权的浑水平均速度。

将固相和液相的速度分解式带入式(1)中，得到

(3)

由于上式可以转化为只含有固相颗粒的弥散速度，同时引入长度尺度L和速度尺度U，无量纲化后转化为

(4)

式中：Reynolds数弗劳德数数只要选取合适的长度尺度和速度尺度能够保证Stokes数为一小量，便可以应用摄动法得到含沙射流弥散速度的本构关系。类似于明渠挟沙水流中弥散速度的推导过程，首先可以将颗粒的弥散速度表示为

(5)

通过比较Stokes数的同阶项系数，可以得到

(6)

(7)

即弥散速度的表达式为

(8)

从式(8)可以看出，弥散速度包括了多种因素对含沙射流运动的影响，包括零阶项中的颗粒沉降、紊动扩散以及一阶项中的颗粒应力、颗粒惯性等。

3　含沙射流的相似解

从式(8)可以看出，颗粒的速度表达式中含有颗粒浓度，也就是说二者是相互耦合的。为了得到速度和浓度的分布规律，需要根据射流的运动特征，建立二者之间的关系。根据射流的相关研究，已经发现，在均匀环境的条件下，圆形射流中的各物理量具有相似解(槐文信和李炜,1993)。所以在本文的研究中，我们假设含沙射流中的颗粒速度和浓度分布具有相似解，即

(9)

式中：和分别为轴线上的泥沙浓度和速度；Sc为Schmidt数，表示的是水流紊动涡黏性系数与泥沙扩散系数的比值。

为了方便推导，我们假设浓度分布的表达式为

(10)

整理后可得

(11)

相应的Schmidt数可表示为

(12)

式中：νft为含沙射流中水流的紊动涡黏性系数。

4　方程的封闭

在方程求解之前，需要给出相关参数的封闭条件，包括以下5个：

(1)水流的紊动涡黏性系数νft。水流紊动涡黏性系数的计算公式为(Jiang等,2005)

(13)

式中：l为掺混长度，根据Zhang和Dong(1999)的研究，对于圆形射流，掺混长度与射流扩展厚度b存在着线性关系，即

l=k1b

(14)

式中：k1为比例系数。

在自由射流中，射流扩展厚度b与位置z之间存在如下关系(谢象春,1975)：

b=k2z

(15)

综合式(14)和式(15)，可以得到

l=kz

(16)

式中：k为经验常数，它的取值通常根据试验资料来率定，本文取为k=0.1。

(2)扩散系数。根据Deutsch和Simonin(1991)的研究，扩散系数的表达式为

(17)

我们假设颗粒紊动强度的协方差与水流的近似相等，即有

(18)

这样，式(17)转化为

(19)

对于含沙射流，颗粒与涡体相互作用的时间尺度〈τfp,j〉目前难以给出合理的理论公式。因此，本文类比于明渠流的研究成果(Greimann和Holly,2001)，分别给出了轴向和径向颗粒与涡体相互作用的时间尺度公式：

(20)

(21)

式中：κ和c需要依据试验资料来率定；γc为考虑颗粒穿越效应的参数。

将式(20)和式(21)分别代入式(19)中可得

Dzz=κγcνft

(22)

Dzr=cγcνft

(23)

进而可以得到Schmidt数为

(24)

其中，φ的表达式为

(25)

(3)水流的轴向速度和紊动强度。根据已有的研究结果，水流的轴向速度可表示为(Papanicolaou,1984;Weisgraber和Liepamann,1998;Wang和Law,2002;Jiang等,2005)

(26)

式中：kcw为系数。

对于低浓度情况下的含沙射流，水流的紊动强度可用如下经验公式确定(Jiang等,2005;Wang和Law,2002)

(27)

(28)

式中：B0、kfcg、B和kcw′u′为系数，其值根据不同的试验资料来确定。

(4)中心处固相颗粒的平均浓度和轴向速度。对于含沙射流来说，影响中心处颗粒浓度分布的因素很多，包括固液相的密度差、颗粒惯性以及颗粒间的相互作用等(Hall等,2010)。但由于目前并没有合适的理论公式，所以在本文的封闭条件中，使用的是根据已有试验资料得到的经验公式，其表达式为

(29)

类似的，中心处的颗粒轴向速度为

(30)

式中：Fr0=u0/[gD(ρp-ρf)/ρf]0.5；vpz0=v0+ωs;kpcm、kpcw、m和n均为常数，根据不同的试验条件确定。

为了确定中心处流体的轴向速度，我们假设

(31)

式中：kccw为相应的系数。

(5)固相应力张量根据Jiang等(2005)的研究，可以用下式确定固相应力：

(32)

(33)

其中，固相颗粒的紊动动能用下面的经验公式来确定(Parthasarathy和Feath,1987;Jiang等,2005)：

(34)

(35)

式中：G′、kpcg和kpw′u′为系数，其值根据不同的试验资料来确定。

5　对比验证

在上述封闭方程的基础上，对式(11)可以进行数值求解。为了验证理论的正确性，本文选用了Parthasarathy和Faeth(1987)和Hall等(2010)的试验资料进行对比分析。对比结果见图1和图2。图中给出了计算和试验的泥沙浓度和速度分布。从图1中可以看出，对于Hall等(2010)的实验资料，泥沙浓度和速度分布的计算值与实测值符合地较好。虽然选取了不同的断面进行分析，但可以看到，z值的大小对结果影响较小，只有在|r/z|值较大的区域，不同断面间浓度分布的区别才有所体现，而不同断面的速度分布几乎没有区别。

从图2可以看出，计算值与Parthasarathy和Faeth(1987)试验值也符合良好。但需要说明的是，在Parthasarathy和Faeth(1987)的计算结果中，距嘴口的距离z对计算结果的影响要比Hall等(2010)中大得多。当z值过小时，即越靠近嘴口，计算结果已完全不符合实际情况。究其原因，是由于在比较靠近嘴口的区域，由于Parthasarathy和Faeth试验中的泥沙颗粒惯性较大，颗粒对水流紊动的响应时间较长，使得泥沙颗粒无法充分地扩散，该区域还不完全属于充分发展的含沙射流的区域，即不满足本文理论的计算条件。从这也可以看出，颗粒惯性对含沙射流的运动特性影响显著。

6　结论

(1)类似于明渠挟沙水流的研究，本文推导了具有自由边界的含沙射流运动中弥散速度的本构关系，式中同样反映出了重力、扩散以及颗粒惯性等作用对含沙射流运动的影响，为分析颗粒惯性对含沙射流运动的影响机理提供了理论基础。

(2)利用射流运动中浓度和速度具有相似解的性质，求解得到了浓度和速度的分布方程。计算值与实测值能够相互吻合，从而验证了理论的正确性。

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Study on Characteristics of Sediment-laden Jets

ZHANG Lei1,2,GUAN Jianzhao1,2,WANG Dayu1,2,WANG Yousheng1,2

(1.China Institute of Water Resources and Hydropower Research,Beijing 100048;2.State Key Laboratory of Simulation and Regulation of Water Cycle in River Basin,Beijing 100048)

Abstract:The relation for drift velocity in sediment-laden jets was obtained based on the two-phase mixture model derived from two-phase fluid theory.Effects of particle inertia,and inter-phase action on the movement of sediment-laden jets have been considered in this relation.Furthermore,the distribution of velocity and concentration were obtained based on the similarity of velocity and concentration distribution for jets.Satisfied agreements with experimental observations show that the present theory can be used under both low and high concentration conditions.

Key words:Sediment-laden Jets;Sediment Concentration;Velocity;Distribution