粗化床面上推移质运动的统计特征分析

朱振慧，张世彦，陈东

(中国科学院地理科学与资源研究所，陆地水循环及地表过程重点实验室，北京　100101)

【摘　要】　推移质运动的统计特征对推移质输移的理论研究具有重要意义。本文基于粗化床面上的推移质水槽试验，采用水流冲刷后形成具有床面结构的准平衡粗化床面，通过跟踪床面上推移质颗粒的运动轨迹，提取颗粒位置信息并统计分析颗粒活动量、速度、单步运动距离及等待时间等运动学参数。研究结果表明：颗粒速度、单步运动距离与等待时间的概率分布均表现出拖尾分布的特征，说明粗化床面上的推移质运动为具有长时间记忆性和长程相关性，颗粒聚集体及通道可能是造成推移质奇异扩散的主要原因；然而，随着观测时间尺度的增大，各参数的拖尾特征强度逐渐减弱。本文为粗化床面上推移质运动的随机模型的建立提供了数据支持，对推移质运动研究的完善具有一定的理论意义。

【关键词】　床面结构；推移质运动；拖尾分布；奇异扩散

基金项目：国家重点研发计划(2016YFC0402406；2017YFC0405203);国家自然科学基金资助项目(41330751;51509234;51279192)。

作者简介：陈东(1973—　)，男，江苏人，博士，主要从事河流地貌动力学研究。

E-mail:dchen@igsnrr.ac.cn

1　引言

推移质输移过程是床面变形的主要原因，是泥沙输移理论的重要组成部分。天然砾石宽级配河床在水流作用下往往会形成一定的组织形态，尤其是在拆坝后底泥释放、山火后的强降雨等条件下，河床表面会形成与河床基质不同的粗化层，而这些粗化层及其床面组织形态会影响推移质输移规律[1]，这关系着下游的河势演变、水利灌溉、防洪减灾、航运发展等方面的决策。尽管在过去的几十年里大批的研究者对推移质运动进行研究，但是关于粗化床面上推移质输移规律的研究迄今为止仍然不充分[2,3]。

在天然河道上，推移质颗粒与床面以及水流之间的复杂作用导致其研究多局限于宏观角度上[4]。近年来，数码摄影与数字图像技术的结合为研究者们提供能够记录单颗颗粒运动轨迹的研究方法，通过推移质的运动轨迹中提取出的如颗粒速度、单步运动距离、等待时间等运动学参数都被用来描述推移质的输移特征[2,5]。对于推移质颗粒速度的研究众多学者得到的结论并不十分一致，大部分的水槽试验结论得出的概率密度分布为高斯分布，但也有部分认为其符合指数率、卡方分布或伽马分布[3,6,7]。在不区分运动模式的情况下，单步运动距离的分布也存在指数率分布和拖尾分布的分歧[8,9]，同样的，等待时间的分布也没有得到统一结论[10]。为了进一步反映不同的试验条件下推移质颗粒的运动特征，研究者们使用不同的模型描述推移质运动，其大体可以分为正常扩散模型和反常扩散模型[2,11,12]。反常扩散是指自由系统偏离正常布朗运动的扩散行为，其颗粒运动具有非马尔科夫的或空间非局域性的特征[13]。换句话说，单颗颗粒的运动不仅仅取决于当前的运动条件，还与以往的演变过程或相距较远的其他推移质颗粒有关。许多室内水槽试验[14]及野外调查的数据[15]往往偏离了正常扩散模型的理论结果，因而可能具有反常扩散的特征，但在反常扩散条件下推移质颗粒的运动机制尚不明确。在以往的推移质水槽试验中，绝大部分试验均以均质颗粒[6,7]或窄粒径级配的非均匀沙[5,14]作为床沙，并且这些试验过程中均没有粗化后形成具有一定组织结构的粗化抗冲层。本文借助粗化床面上的推移质水槽试验，通过摄像机跟踪记录示踪颗粒的运动轨迹，分析推移质颗粒各运动参数的统计学特征，来探讨推移质颗粒在粗化床面上的扩散机制。

2　推移质运动随机模型

为了进一步研究推移质运动机制，本文在二维、稳定水流冲刷具有坡度的床面，并且床面及输沙率保持准平衡状态下，将推移质在床面上走走停停的过程简化成只有运动和静止两个状态，且颗粒的运动和静止状态为随机转变。这里引入CTRW(连续时间的随机行走)来描述推移质运动，一般情况下，CTRWs使用下列迭代的离散方程来指定推移质颗粒在时间ti时刻的颗粒位置xi：

xi+1=xi+ηi

ti+1=ti+τi

式中：ηi、τi分别为推移质运动的单步运动距离和等待时间，满足该随机变量的概率密度分布函数pdf分别记为S(x)和Tr(t)。

CTRW理论根据单步运动距离的方均∑2=S(x)x2dx和平均等待时间T=Tr(t)tdt是否有限来对扩散进行分类：对于正常扩散，两者都是有限的；对于反常扩散，两者之一是发散的[13]。

2.1　正常扩散下的随机模型

正常扩散下的单步运动距离的方均和平均等待时间均收敛。换句话说，推移质颗粒的运动具有时间无记忆性，空间局域性的特征，即推移质各次运动之间互不相关，推移质之间运动也相互独立，则推移质在单位时间内推移质运动次数的离散概率分布为二项分布，当推移质运动的概率足够小时间足够长时，可以用泊松分布来近似，等待时间为指数分布：

式中：λ=Np,N为床面上示踪颗粒的总量;p为颗粒起动概率;τ为平均等待时间。

2.2　反常扩散下的随机模型

如果单步运动距离的二阶矩或等待时间的一阶矩发散，那么其扩散就会偏离正常扩散，例如Levy行走、Levy飞行的二阶矩均发散，表现在数学上为单步运动距离S或等待时间Tr的概率密度分布与高斯或指数率分布相比具有肥胖的尾部，展现出的物理特征为发生极端事件的概率相比正常扩散下的概率高，可用α稳态分布来描述其分布的肥尾，该分布这个分布的概率密度函数具备尾端趋近于幂律分布，而在头端偏离幂律分布，趋近于指数分布的性质，稳定分布只能给出定义它的特征函数(也就是概率密度函数的Fourier变换)的表达式，在一般情况下不能给出其概率密度的具体形式，而对于任意稳态分布随机变量的特征函数，可以用四个参数来表示α、β、γ、δ，记作S(α,β,γ,δ),其具体形式如下[16]：

式中：sgn(t)为符号函数。

α∈(0，2]为特征参量，α越大，概率密度分布曲线越“矮胖”，拖尾越小；α越小，概率密度分布曲线越“高瘦”，拖尾越重。

β∈[-1，1]，为倾斜度参量，如果β>0，则其所表示概率密度函数曲线向右倾斜，反之向左。

γ∈[0，+∞)，为分散性参数，表征数据集中程度，γ越大则数据以均值为中心的分散程度越大。

δ∈(-∞，+∞)，为位置参数，表征概率密度函数的位置，δ的变化可以引起概率密度函数曲线的水平移动。

在本次研究只关注偏离正常扩散的程度，即拖尾的程度，所以在以下讨论中只研究特征参数α的变化规律。

在反常扩散中，若平均等待时间T发散，而方均单步运动距离∑2有限，等待时间分布可用拖尾的S(α,β,γ,δ)表示。这种反常扩散称为次扩散，表现在推移质运动上为推移质在床面上的长时间停留概率变大，体现出推移质运动的非马尔科夫性质。

若推移质运动具有有限的等待时间但单步运动距离分布的二次矩发散，其单步运动距离分布表现为拖尾分布的S(α,β,γ,δ)分布。这种反常扩散称为超扩散，推移质运动具有大概率的长程跳跃现象，即发生较大距离跳跃的机会多于正常扩散。

3　试验方案及技术

3.1　试验设计

试验在中国水利水电科学研究院大兴试验基地的水槽实验厅内进行。水槽长50m、宽1m、高1.2m，两侧边壁及底板由玻璃组成(图1)。试验上游距离入口27m范围内铺设10mm以上的白色卵石用以平稳水流，水槽中间约20m为试验段，铺设由芦家河水道典型床沙概化出的非均匀沙作为原始河床(粒径级配见表1)，铺设厚度为10mm，水槽尾端为接沙槽。数码相机架设在试验段下游，跟踪记录面积为366mm(流向)×206mm的床面上的示踪颗粒运动轨迹，摄像机分辨率为1280像素×720像素，采样频率10Hz。摄像区使用薄玻璃板轻贴水面以避免水面波和水体折射带来的图像扭曲，从而清晰记录沙粒运动。

为了获得具有床面结构的粗化层，使用恒定均匀流130L/s冲刷具有0.004坡度的原始床面。在规定时间内收集接沙槽内泥沙，并烘干、筛分称重，获得分组输沙率后重新添加到水槽中。重复上述步骤直到输沙率趋于平衡，可认为床面已达到准平衡阶段，此时的床面上形成抗冲粗化层，例如大颗粒形成各种排列镶嵌模式阻挡小颗粒的运动，而在各个聚集体之间会形成的缺少大颗粒的水流带[17](图2)。此时，使用黑色3mm示踪颗粒代替原接沙槽中的同粒径组泥沙，将示踪颗粒与接沙槽中泥沙加入水槽中，进行推移质示踪试验。

3.2　图像处理

本试验随机选取床面上运动的100个颗粒作为跟踪对象，提取跟踪对象在床面上运动轨迹。近年来，几种自动化的图像处理算法已被应用于提取图像轨迹提取或粒子测速[18,19]，但基于颗粒形状或组织形态相似的算法均不能应用于粒子反常扩散的跟踪。本文应用Image J软件将颗粒的轨迹转化成随时间变化的坐标信息(xi,yi)，从而获得颗粒的运动速度。在本文中，当颗粒在相邻帧图中的位置差同时满足Δx=Δy=0时，则判定颗粒状态为静止，本文中不区分推移质的滚动、跃移和滑动模式，并将推移质的单步运动定义为颗粒相邻两次静止状态之间的运动过程，相应的距离为单步运动距离S，相邻两次单步运动之间的时间为等待时间Tr。

4　试验结果与讨论

本次试验截取试验过程中的5min视频片段，共跟踪床面上100个运动的示踪颗粒为研究对象，共30万个颗粒位置信息，1267个单步运动距离样本。

4.1　颗粒活动量

颗粒活动量指在单位时间内在床面上处于运动状态的颗粒量。本文中将其无量纲化，表示为整个观测床面上示踪颗粒处于运动状态的比率R，此时与第二部分的推移质在单位时间内的运动的概率P相对应，如果推移质的运动为正常扩散，则R(t)为二项分布或泊松分布。

图3表示为颗粒活动比率与时间间隔t之间的关系，尤其在但对数坐标轴上可以看出颗粒活动量分布在尾端偏离泊松分布，更偏向于指数率函数，由此推翻了本次试验中推移质为正常扩散的假设。同样的，Ancey等[2]和Rosebrrry等[7]的试验结果均偏离泊松分布。Ancey等认为在试验过程中推移质颗粒之间相互作用，往往出现成堆颗粒共同运动的情况，作者将偏离归咎于颗粒之间的相互关系，但在本次试验中示踪颗粒仅为D=3mm≪水槽宽度W=1.2m，相对于D=6mm=W=6mm的试验条件明显不同，在整个试验过程中示踪颗粒之间没有相互碰撞，因此可排除颗粒间的相互作用。Roseberry等则认为近床面水流的紊动作用致使颗粒活动量不服从正常扩散下的分布。而在本次试验中，粗化床面的组织形态与近床面紊流相辅相成，相互影响，就目前的研究结果来说，不能排除近床面紊流和床面结构任意一方面对推移质呈现反常扩散的影响。

4.2　颗粒速度

本次研究采用最小时间间隔0.1s的平均速度作为瞬时速度，共有1267个速度样本，认为本次样本足以代表在相同试验条件下的颗粒速度。图4分别表示研究颗粒的纵向、横向速度的概率密度分布图。

对于推移质的纵向速度的研究，由于试验中绝大部分颗粒均朝下游方向移动，Lajeunesse和Roseberry等[5,7]在不考虑小于零的部分纵向速度的前提下，得出推移质的纵向速度分布为指数分布，此外，Fan等[20]通过力学和统计学相结合的模型得出了在低输沙率条件下，推移质颗粒正负纵向速度(vx>0、vx<0)分别符合指数分布规律。然而，本次试验中的推移质纵向速度则表现出了不同于指数分布的拖尾特征[图4(a)]，在|vx|越大时，速度的概率越偏离正常扩散下的指数分布。本次试验中使用α稳定分布来描述推移质的纵向速度，Bradley等[12]也曾使用稳定分布来描述反常扩散下的推移质速度。从图中可以看出具有拖尾特征的稳定分布更好的拟合了本次粗化床面上的推移质颗粒纵向速度。

对于横向速度，使用高斯分布对其拟合后发现与Lajeunesse等[5]相似的结果，表现为虽近似为高斯分布，但分布的顶端比高斯分布更尖且两端的尾巴相对较厚。此外，Roseberry[7]和Fan等[20]分别用试验数据和理论推导的方法证明推移质横向速度为双侧的指数分布，但是在粗化床面上的推移质横向速度更趋近于拖尾分布[图4(b)]。

试验中的颗粒速度在大速度时的概率较正常扩散下的指数分布或高斯分布更大，本文认为主要原因在于本次试验存在不同于前人试验的抗冲粗化层，粗化层表面形成的聚集体之间的水流加速带，当推移质颗粒进入加速带时，颗粒随水流较快移动，从而导致了颗粒大速度概率增大的现象。

4.3　单步运动距离和等待时间

单步运动距离和等待时间是推移质输移的研究的核心参数。但就目前为止，对于单步运动距离和等待时间是否符合正常扩散下的分布仍没有达成共识。

对于单步运动距离的研究，Hill等[14]证明了给定粒径的均质颗粒的单步运动距离分布为指数分布，Ganti等[9]认为单步运动距离分布的拖尾可能是由推移质的粒径多级配导致。为了进一步研究推移质单步运动距离的分布特征，图5(a)表示推移质单步运动距离的概率分布图。从图中可以看出，本次粗化层上的推移质的单步运动距离分布相比指数分布更符合稳定分布，说明推移质发生长程跳跃的概率大于正常扩散，单步运动距离分布的拖尾现象恰恰证明了粒子的空间非局域性。

图5(b)为本次试验推移质等待时间的概率密度分布。对于粗化床面的试验条件下，我们发现：等待时间分布同样具有拖尾特征。Martin等[3]的试验结果以及Voepel等[10]的野外数据也得出了相同的结论。文章还提到，若推移质运动为马尔科夫性质的正常扩散，那么平均等待时间应当具有有限值，但图5(b)中的稳定分布违背了正常扩散的假设。等待时间的拖尾分布证明了粗化床面上推移质运动的并非只决定于颗粒的当前状态，还与颗粒之前的运动状态有关。这种时间上的非马尔科夫性质反映了粗化床面上推移质运动的次扩散现象。

结合前人推移质试验条件以试验结果，作者认为本次试验中推移质运动表现出的超扩散及次扩散现象很大可能与抗冲粗化层上的组织结构有关。粗化层上的聚集体主要由粒径较大的颗粒组成各种排列组合形式，小颗粒往往被阻挡或者困在其中，又或者围绕某一聚集体打转，这些阻挡作用均增长了推移质的等待时间，造成颗粒的次扩散；而各种聚集体之间形成的水流加速带加快了进入此带中颗粒的运动速度，由于加速带中没有明显的颗粒阻碍，增长了推移质的单步运动距离，该加速作用和非阻碍作用增加了颗粒进行长程跳跃的概率，从而也表现出了超扩散的特征。

5　结论

迄今为止，基于抗冲粗化床面上的推移质运动扩散机制尚不明确。本文采用推移质水槽试验的方法，通过跟踪记录粗化床面上示踪颗粒的运动轨迹，统计分析其部分运动学参数后得出如下结论：

(1)在本次试验条件下，粗化床面上推移质的颗粒活动量不符合正常扩散下的泊松分布，而更趋向于指数率函数分布。

(2)推移质的纵向和横向速度均表现出拖尾特征，相对于正常扩散下的指数分布和高斯分布，使用α稳定分布拟合效果更理想。

(3)单步运动距离和等待时间分布的拖尾分布证明了本次试验中推移质运动为非马尔科夫性质、空间非局域性的反常扩散，同时具有超扩散和次扩散两种现象。

(4)造成推移质反常扩散的主要原因可能为粗化层上的聚集体和水流加速带：聚集体对小颗粒的阻挡作用与次扩散有关，水流加速带则为颗粒的超扩散提供条件。

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Statistical Analysis of Bedload Transport on an Armored Stream Bed

ZHU Zhenhui,ZHANG Shiyan,CHEN Dong

(Institute of Geographic Sciences and Natural Resources Research,Chinese academy of sciences,Beijing　100101)

Abstract:Bed-load transport is the dominant mode of sediment motions in gravel-bed rivers.In this paper,we investigate the motions of bed-load particles on an armored bed with clusters,using carefully controlled flume experiments and statistical analysis.In our experimental setting,we filmed the motions of bed-load particles from the side by a digital video recorder,and extracted particle trajectories using image processing techniques.Thereafter,we calculated the key kinematic parameters of the moving particles such as particle velocity,step length,and rest period,and derived their statistical properties.Results show that some parameters follow heavy-tailed distributions,indicating the nonlocality of anomalous sediment diffusion.Particle clusters on armored sand beds exert a dual impact on bedload sediment particles:some particles are trapped inside particle clusters to rest significantly longer whereas others are accelerated to travel further downstream when passing through the “flow accelerating belts” between the particle clusters.However,the effects of anomalous sediment diffusion gradually vanish with the increase of time scale.Here we present evidence of surperdiffusive and subdiffusive behavior in experimental system,and fill in theoretical gaps of application of anomalous diffusion model for bedload sediment transport over armored sand beds with cluster microforms.

Key words:Particle Cluster;Bedload Sediment Transport;Heavy-tail Distribution;Anomalous Diffusion