2.6 拉伸和压缩的超静定问题

2.6.1 超静定问题的解法

在前面讨论的问题中，凡是未知的约束力和内力均可由平衡方程确定，这种问题称为静定问题。如图2.27(a)所示结构的1、2杆的轴力有2个未知量，考虑A点的平衡，属于平面汇交力系，可以列出2个平衡方程，从而可解出全部的轴力，即完全利用平衡方程就可解出未知量，这是静定问题。

但在某些情况下，作用在研究对象上的未知力多于静力平衡方程的数目，仅仅根据平衡方程尚不能全部求解的问题，称为超静定问题。如图2.27(b)所示结构的各杆的轴力属超静定问题。节点A的静力平衡方程为

这里静力平衡方程有2个，但未知力有3个，只凭静力平衡方程不能求得全部的未知力，故是超静定问题。

超静定系统（或构件）存在多余约束，所以超静定问题的未知力数大于有效平衡方程数目，两者之差称为超静定的次数。

为了求得问题的解，在静力平衡方程之外，还必须寻求补充方程。下面以图2.27（b）桁架为例，来说明拉压杆超静定问题的解法。为简单起见，设1、2杆的刚度相同，杆的长度相同，3杆垂直放置，桁架的结构关于3杆是对称的。

（1）静力平衡方程。首先进行静力分析，列出平衡方程，如式（2.19）,其中有3个未知量，只有2个方程，暂时不能求解全部未知量。

（2）几何协调方程。由于结构的变形是协调的，可以列出几何协调方程。在该例中，不管受力如何，结构中的杆始终是铰接在一起的，A点受力后移动到A′点，如图2.28所示。在小变形的情况下，基于原始尺寸原理，先假设各杆自由独立变形，1杆在轴力作用下有伸长Δl1，杆端点将移动到A1点；2杆有伸长Δl2，杆端移动到A2点。事实上A点是铰接在一起的，严格地讲，应该分别以B点和C点为圆心，以l1+Δl1和l2+Δl2为半径画圆弧，交点A′即为铰链移动后的位置。但在小变形的情况下，过杆端点A1和A2做切线，交点A″即可认为是铰链A点变形后的近似位置，见图2.28。

在小变形的前提下，A′和A″的位置误差很小，可以忽略，而且可以认为角度α不变。

而3杆由于铰链A的约束作用，其杆端点必定也移动至A″点的位置，即为3杆的变形。三根杆始终是铰接在一起的，这样三根杆必须满足的关系，即几何协调关系为

（3）物理方程。若1、2两杆的抗拉刚度为E1A1，3杆的抗拉刚度为E3A3，由胡克定律得

这两个表示变形与轴力关系的式子称为物理方程，将其代入式（2.20），得

这是在静力平衡方程之外得到的补充方程。由式（2.19）和式（2.22）解得

以上例子表明，超静定问题是综合静力平衡方程、变形协调方程（几何方程）和物理方程等三方面的关系求解的。杆的轴力N不仅与载荷F及杆间的夹角α有关，而且与杆的抗拉（压）刚度有关。一般来说，增大某杆的刚度，该杆的轴力亦相应增加。这也是超静定问题区别于静定问题的一个重要特征。

【例2.9】 如图2.29所示的两端固定杆件，其长度、横截面面积及弹性模量依次为l1、l2、A、E。试求施加载荷P后，l1和l2两段的内力。

分析：杆件在施加载荷P后，上下两段的内力并不相等，静力平衡方程只有1个，未知量则有2个，是超静定问题。考虑杆端的约束作用，杆的变形协调关系应该是杆总变形等于零，最后可以将由胡克定律得出的物理方程作为补充方程，联立平衡方程求解未知量。

解：设FR1、FR2分别为上、下端的约束反力，并假设它们的方向均向上，由截面法可知上下两段的轴力为

考虑杆件的受力，静力平衡方程为

即

它有2个未知力，这是1次超静定问题。

由于杆件两固定端间的距离不变，所以上段的伸长量与下段的压缩量之和为零。变形协调方程为

通过物理方程把变形用未知力来表示，补充方程即为

化简得

联立式(a)、式(c)，求解得

所得的N1、N2为正号，说明其假设的方向与实际的一致。

【例2.10】 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如图2.30（a）所示。如已知F=50kN，两根钢杆的横截面面积A=1000mm2，试求两杆的轴力和应力。

分析：这是一个静不定度为1次的超静定问题。AB杆为刚性杆，在受力时不会变形，AB始终为直线，因而结构的变形图如图2.30（c）所示，图中虚线代表AB杆的最终平衡位置。

解：1、2杆均受拉力，受力如图2.30（b）所示，列平衡方程：

由于AB为刚性杆，在外力作用下杆的位移情况如图2.30（c）所示，1、2杆均被拉长，变形协调关系为

由物理方程有

即

联立式(a)、式(b)，解得

则1、2杆的应力分别为

2.6.2 装配应力

加工构件时，尺寸上的一些微小误差是难以避免的。对静定结构，加工误差只不过是造成结构几何形状的轻微变化，不会引起应力。例如，在如图2.31（a）所示的结构中，若杆1加工得比原设计长度l稍短了δ（δ≪1），则横梁装配后将成A′C′B′。在没有外力作用时，不管这些杆长的准确度怎样，杆1和杆2的内力均等于零。

但对超静定结构，加工误差却往往要引起内力。例如，在如图2.31(b)所示的结构中，ABC杆视为刚体，如图中的虚线位置。杆2的端点在B点，长度比应有的长度l短了δ，在装配时必须把杆2拉长至B′，同时把杆1和杆3分别压至A′和C′，才能装配成如图2.31(b)中实线所示的位置。这样装配后，结构虽未受载荷作用，但各杆中已有内力。这时引起的应力称为装配应力。

【例2.11】 有一不计自重的刚梁挂在三根平行的金属杆上，1、3两杆与杆2之间的距离均为a，横截面面积为A，材料的弹性模量E均相同，如图2.32（a）所示。其中杆2加工后比原设计长度l短了δ（δ≪1），装配后要求刚梁水平，当在B处受载荷P时，试求各杆的内力。

分析：图2.32（c）中杆的实线表示的是装配之前的位置，1、3杆的长度均为l。由于杆2的加工误差，结构如要装配在一起，则必须先施加拉力使杆2伸长，同时施加压力使1、3杆缩短至图2.32（c）中的虚线位置，从变形图中可以得出变形协调关系，再利用胡克定律可补充方程，联立平衡方程可解出内力。

解：（1）静力学关系。以刚梁ABC为研究对象，可以判断1、3杆受压力作用，杆2受拉力作用，作受力图［图2.32（b）］。这是平行力系，只能写出两个平衡方程，但有三个未知力：N1、N2和N3。显然，这是1次超静定问题。其静力平衡方程为

（2）变形几何协调关系。结构及载荷具有对称性，故刚梁ABC受载荷作用后将平移至新的位置A′B′C′［图2.32（c）］，2杆伸长量为Δl2，1、3杆的压缩量为Δl1、Δl3。

变形协调方程为

（3）物理关系。杆的变形与轴力满足胡克定律：

代入式（c），得补充方程：

联立式(a)、式(b)、式(d)，解得

2.6.3 温度应力

由物理学可知，温度的变化将会引起构件尺寸的变化。在静定结构中，由于杆件能够自由变形，故这种变形不会在杆件中引起应力。但在超静定结构中这种变形将引起内力，由此产生的应力称为温度应力或热应力。

例如长为L的杆BC，截面积为A，二端固定支承如图2.33所示。已知材料弹性模量E和温度改变时的线膨胀系数α，尽管杆上无外力作用，若温度升高ΔT，则杆BC将受热伸长。而两端固定约束限制其自由伸长，会引起约束力作用，约束力作用的结果是使杆在轴向受压缩短，其变形量为零。

杆上只有2个共线约束力作用，由力的平衡得

设杆在温度升高后的伸长量为ΔLT，根据温度与变形、力与变形间的物理关系，则由温度改变产生的伸长量

注意杆的轴力为N=F(压力)，故力所引起的缩短量ΔLF为

再考虑其变形几何协调条件。两端固定约束要保持杆长不变，必须有

可解得两端约束反力为

杆内的应力（压应力）为

讨论：对于超静定构件，在没有外力作用的情况下，由于温度变化也会引起应力。温度应力与材料的线膨胀系数α、弹性模量E和温升ΔT成正比。

碳钢的线膨胀系数和弹性模量分别为

所以

可见当ΔT较大时，σT的数值便非常可观。为了避免过高的温度应力，在管道中有时增加伸缩节（图2.34），如在钢轨各段之间有伸缩缝，这样就可以削弱对膨胀的约束，降低温度应力。

【例2.12】 一外直径D=45mm，厚度δ=3mm的钢管，与直径d=30mm的实心铜杆同心地装配在一起，两端均固定在刚性平板上，如图2.35（a）所示。已知钢和铜的弹性模量及线膨胀系数分别为Es=210GPa,αs=12×10-6（℃）-1;Ec=110GPa,αc=18×10-6（℃）-1。装配时的温度为20℃，若工作环境的温度升高至170℃，试求钢管和铜杆横截面上的应力及组合筒的伸长。

分析：由于钢管和铜杆的热膨胀系数不同，两构件由于温度改变而产生的变形则不一样，铜杆的膨胀要大于钢管。但由于受到刚性平板的约束，铜杆将受到压力而缩短，钢管受到拉力而伸长，由于没有其他的外力，压力和拉力在数值上是相等的，会在横截面上产生应力。铜杆最后的变形等于温度产生的伸长量（Δlc,T）减去压力产生的缩短量（Δlc,F），钢管最后的变形等于温度产生的伸长量（Δls,T）加上拉力产生的伸长量（Δls,F），总之铜杆最后的变形应该等于钢管最后的变形，这就是变形协调关系。

解：（1）静力学关系。由平衡方程求出钢管和铜杆轴力［图2.35（b）］：

（2）变形协调关系。组合筒的变形协调方程［图2.35（c）］为

将力（温度）与变形间的物理关系代入上式，得补充方程为

钢管的面积

铜杆的面积

则解得钢管和铜杆的轴力为

（3）计算应力。钢管横截面上的应力

铜杆横截面上的应力

（4）组合筒的伸长。