3.3 文克勒地基上梁的计算

3.3.1 文克勒地基上梁的挠曲微分方程

在材料力学中，根据梁的纯弯曲得到的挠曲微分方程式为

式中 ω——梁的挠度；

M——弯矩；

E——材料的弹性模量；

I——梁的截面惯性矩。

根据梁的微单元［图3.10（b）］的静力平衡条件∑M=0、∑V=0得到

式中 V——剪力；

q——梁上的分布荷载；

p——地基反力；

b——梁的宽度。

将式（3.10）连续对坐标x求两次导数，可得

对于没有分布荷载作用，即q=0的梁段，式(3.11)可写为

式（3.12）是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。采用文克勒地基模型时，按式（3.1）p=ks进行计算。

根据变形协调条件，地基沉降等于梁的挠度，即s=w，代入式（3.12）得

或

式(3.13)即为文克勒地基上梁的挠曲微分方程。为了求解的方便，令

λ称为梁的柔度特征值，量纲为［1/长度］，其倒数1/λ称为特征长度。λ值与地基的基床系数和梁的抗弯刚度有关，λ值越小，基础的相对刚度越大。

将式（3.14）代入式（3.13）得到

式(3.15)是4阶常系数线性常微分方程，可以用比较简便的方法得到它的通解，即

式中 C1、C2、C3和C4——积分常数，可按荷载类型（集中力或集中力偶）由已知条件（某些截面的某项位移或内力为已知）来确定；

e——自然对数的底。

如果设梁的长度为l，则梁的柔度特征值λ与长度l的乘积λl称为柔度指数，其表征了文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值。当λl→0时，梁的刚度为无限大，可视为刚性梁；当λl→∞时，梁是无限长的，可视为柔性梁。一般可按柔度指数λl值的大小将梁分为下列3种。

对于短梁（或刚性梁），有

对于有限长梁（或有限刚度梁），有

对于长梁（柔性梁），有

3.3.2 文克勒地基上无限长梁的解答

1.竖向集中荷载作用下的解答

图3.11（a）表示一个竖向集中力F0作用于无限长梁时的情况。取F0的作用点为坐标原点O。离O点无限远处的梁挠度应为0，即当x→∞时，ω→0。将此边界条件代入式（3.16），得C1=C2=0。于是，对梁的右半部，式（3.16）成为

在竖向集中力作用下，梁的挠曲线和弯矩图是关于原点对称的，如图3.11（a）所示。因此，在x=0处，dω/dx=0，代入式（3.17）得C3-C4=0。令C3=C4=C，则式（3.17）成为

在O点处紧靠F0的左、右侧把梁切开，则作用于O点左右两侧截面上的剪力均等于F0之半，且指向下方。根据图3.10（c）中的符号规定，在右侧截面有V=-F0/2，由此得C=F0λ/2kb，代入式（3.18），则

将式(3.19)对x依次取一阶、二阶和三阶导数，就可以求得梁截面的转角θ≈dω/dx、弯矩M=-EI(d2ω/dx2)和剪力V=-EI(d3ω/dx3)。将所得公式归纳为

式中Ax=e-λx(cosλx+sinλx)

Bx=e-λxsinλx

Cx=e-λx(cosλx-sinλx)

Dx=e-λxcosλx

这4个系数都是λx的函数，其值也可由表3.2查得。

由于式（3.20）是针对梁的右半部（x>0）导出的，所以对F0左边的截面（x<0），需用x的绝对值代入式（3.20）中进行计算，计算结果为ω和M时正负号不变，但θ和V则取相反的符号。基底反力按p=kω计算。ω、θ、M、V的分布图如图3.11（a）所示。

2.集中力偶作用下的解答

如图3.11（b）所示，当一个顺时针方向的集中力偶M0作用于无限长梁时，同样取M0作用点为坐标原点O。当x→∞时，ω→0，由此得式（3.16）中的C1=C2=0。在集中力偶作用下，θ和V是关于O点对称的，而ω和M是反对称的。因此，当x=0时，ω=0，所以C3=0。然后在紧靠M0作用点的左、右两侧把梁切开，则作用于O点左右两侧截面上的弯矩均为M0之半，且为逆时针方向，即在右侧截面有M=M0/2。由此可得C4=M0λ2/kb，于是

求ω对x的一、二、三阶导数后，所得的式子归纳为

式中系数Ax、Bx、Cx、Dx与式（3.20）相同。当计算截面位于M0的左边时，式（3.22）中的x取绝对值，ω和M取与计算结果相反的符号，而θ和V的符号不变。ω、θ、M、V的分布如图3.11（b）所示。

计算承受若干个集中荷载的无限长梁上任意截面的ω、θ、M和V时，可以按式（3.20）或式（3.22）分别计算各荷载单独作用时在该截面引起的效应，然后叠加得到共同作用下的总效应。注意，在每次计算时均需把坐标原点移到相应的集中荷载作用点处。图3.12所示的无限长梁上A、B、C 这3点的4个荷载Fa、Ma、Fb、Mc在截面D引起的弯矩Md和剪力Vd分别为

式中，系数Aa、Cb、Dc表示其所对应的λx值分别为λa、λb、λc。

3.3.3 文克勒地基上有限长梁的解答

真正的无限长梁是没有的。满足的梁均称为有限长梁，对于有限长梁，有多种方法求解。这里介绍的方法均是以上面推导得的无限长梁的计算公式为基础，利用叠加原理来求得满足有限长梁的两个自由端边界条件的解答，其原理如下。

设想将图3.13中的有限长梁（梁Ⅰ）用无限长梁（梁Ⅱ）来代替。显然，如果能设法消除无限长梁Ⅱ在A、B两截面处的弯矩和剪力，即满足有限长梁Ⅰ两端为自由端的边界条件，则无限长梁Ⅱ的内力与变形情况就完全等同于有限长梁Ⅰ了。将无限长梁Ⅱ紧靠A、B两截面的外侧各施加一对附加荷载FA、MA和FB、MB（称为梁端边界条件力，其正方向如图3.13所示），并且使无限长梁在梁端边界条件力和已知荷载共同作用下，A、B两截面的弯矩和剪力为零，那么由此可求出FA、MA和FB、MB。再由叠加法计算在已知荷载和边界条件力的共同作用下，无限长梁Ⅱ上相应于梁Ⅰ所求截面处的ω、θ、M和V值，即为所求结果。

设外荷载在梁Ⅱ的A、B两截面上所产生的弯矩和剪力分别为Ma、Va及Mb、Vb，则要求两个梁端在A、B两截面产生的弯矩和剪力分别为-Ma、-Va及-Mb、-Vb，由此可利用式（3.20）或式（3.22）列出方程组为

解上述方程组得

式中

式中 sh——双曲线正弦函数；

El、Fl——按λl值由表3.2查得。

当作用于有限长梁上的外荷载对称时，Va=-Vb，Ma=Mb，则式(3.25)可简化为

现将有限长梁的计算步骤归纳如下。

（1）按式（3.20）和式（3.22）以叠加法计算已知荷载在无限长梁Ⅱ上相应于有限长梁Ⅰ两端的A和B截面引起的弯矩和剪力Ma、Va及Mb、Vb。

（2）按式（3.25）和式（3.26）计算梁端边界条件力FA、MA和FB、MB。

（3）再按式（3.20）和式（3.22）以叠加法计算在已知荷载和边界条件力的共同作用下，无限长梁Ⅱ上相应于有限长梁Ⅰ所求截面处的ω、θ、M和V值。

3.3.4 基床系数的确定

根据式(3.1)的定义，基床系数k可以表示为

由式(3.27)可知，基床系数k的取值受多种因素的影响，如基底压力的大小及分布、土的压缩性、土层厚度、邻近荷载影响等。因此，从严格意义上讲，在进行地基上梁或板的分析之前，基床系数的数值是难以准确确定的。下面仅介绍几种确定基床系数的方法以供参考。

1.按基础的预估沉降量确定

对于某个特定的地基和基础条件，可用式（3.28）估算基床系数,即

式中 p0——基底平均附加压力；

sm——基础的平均沉降量。

对于厚度为h的薄压缩层地基，基底平均沉降sm=σzh/Es≈p0h/Es，代入式（3.28）得

式中 Es——土层的平均压缩模量。

如果薄压缩层地基由若干分层组成，则式(3.29)可写成

式中 hi、Esi——第i层土的厚度和压缩模量。

2.按载荷试验成果确定

如果地基压缩层范围内的土质均匀，则可利用载荷试验成果来估算基床系数，即在p-s曲线上取对应于基底平均反力p的刚性载荷板沉降值s来计算载荷板下的基床系数kp=p/s。对黏性土地基，实际基础下的基床系数按式(3.31)确定，即

式中 bp、b——载荷板和基础的宽度。

国外常按太沙基建议的方法，采用1英尺×1英尺（305mm×305mm）的方形载荷板进行试验。对于砂土，考虑到砂土的变形模量随深度逐渐增大的影响，采用式（3.32）计算，即

式中，基础宽度的单位为m；基础和载荷板下的基床系数k和kp的单位均取MN/m3。对黏性土，考虑基础长宽比m=l/b的影响，用式(3.33)计算,即

【例3.1】 某柱下钢筋混凝土条形基础如图3.14所示，基础长l=17m，底面宽b=2.5m，抗弯刚度EI=4.3×103MPa·m4，预估平均沉降sm=39.7mm。试计算基础中心点C处的挠度和弯矩。

解 (1)确定基床系数k和梁的柔度指数λl。

设基底附加压力p0约等于基底平均净反力pj，有

按式(3.28)，得基床系数为

柔度指数为

因为π/4<λl<π，所以该梁属有限长梁。

（2）按式（3.20）和式（3.22）计算无限长梁上相应于基础梁两端A、B处的弯矩M和剪力V，计算结果列于表3.3中。

由于存在对称性，故Ma=Mb=374.3，Va=-Vb=-719.1。

(3)计算梁端边界条件力FA、MA和FB、MB。

由λl=2.606查表3.2得：Al=-0.02579，Cl=-0.10117，Dl=-0.06348，El=4.04522，Fl=-0.30666。代入式(3.26)得

(4)计算外荷载与梁端边界条件力同时作用于无限长梁时，基础中C点的弯矩MC、挠度ωC和基底净反力pC，计算结果列于表3.4中。

由于具有对称性，只计算C点左半部荷载的影响，然后将计算结果乘以2，即

MC=2×(-563.1)=-1126.2(kN·m)

ωC=2×19.0=38.0(mm)

pC=kωC=3800×0.038=144.4(kPa)

依照上述方法对其他各点计算后，便可绘制基础中点C处剪力图和弯矩图（略）。

【例3.2】 试推导图3.15中外伸半无限梁(梁Ⅰ)在集中力F0作用下O点的挠度计算公式。

解 外伸半无限长梁O点的挠度可以按梁Ⅱ所示的无限长梁用叠加法求得，条件是在梁端边界条件力FA、MA和荷载F0的共同作用下，梁ⅡA点的弯矩和剪力为零。根据这一条件，由式(3.20)和式(3.22)，有

其中

解上述方程组，得

故O点的挠度为

则

上述两式在推导交叉条形基础柱荷载分配公式时将被采用。注意，在式（3.34）中，当x=0时（半无限长梁），Zx=4，当x=∞时（无限长梁），Zx=1。