3.1 湍流及其数学描述
3.1.1 湍流流动的特征
流体实验表明，在临界雷诺数以下时，流动是平滑的，相邻的流体层彼此有序地流动，如果施加的边界条件不随时间变化，流动是定常的，这种流动称为层流。在临界雷诺数以上时会发生一系列复杂的变化，并导致流动特征的急剧变化，流动呈无序的混乱状态；这时，即使施加定常的边界条件，流动也是非定常的，速度等流动特性都随机变化，这种状态称为湍流。在湍流状态下在某一点测得的速度随时间的变化情况如图3.1所示。可以看出，速度值的脉动性很强。湍流中的脉动现象对工程设计有直接影响，压力的脉动增大了建筑物上承受的风载的瞬时载荷，有可能引起建筑物的有害振动；对于水轮机而言，脉动压力最大的负波峰则增加了发生空化的可能性。
图3.1 湍流状态下某特定点的实测速度
u'—脉动速度；
—平均速度
实验研究表明，湍流带有旋涡流动结构，这就是所谓的湍流涡（简称涡）。从物理结构上看，可以把湍流看成是由各种不同尺度的涡叠合而成的流动，这些涡的大小及旋转轴的方向分布是随机的。大尺度的涡主要由流动的边界条件所决定，其尺寸可以与流场的大小相比拟，它主要受惯性影响而存在，是引起低频脉动的原因；小尺度的涡主要是由黏性力所决定，其尺寸可能只有流场尺度的千分之一的量级，是引起高频脉动的原因。大尺度的涡破裂后形成小尺度的涡，较小尺度的涡破裂后形成更小尺度的涡。在充分发展的湍流区域内，流体涡的尺寸可在相当宽的范围内连续变化。大尺度的涡不断地从主流获得能量，通过涡间的相互作用，能量逐渐向小尺寸的涡传递。最后由于流体黏性的作用，小尺度的涡不断消失，机械能就转化（或称耗散）为流体的热能。同时由于边界的作用、扰动及速度梯度的作用，新的涡旋又不断产生，这就构成了湍流运动。流体内不同尺度的涡的随机运动造成了湍流的一个重要特点——物理量的脉动（图3.1）。
3.1.2 湍流的基本方程
一般认为，无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和N-S方程对于湍流的瞬时运动仍然是适用的。在此，考虑不可压流动，使用笛卡尔坐标系，速度矢量u在x、y和z方向的分量为u、v和w，可以写出湍流瞬时控制方程：
（3.1）
（3.2）
为了考察脉动的影响，目前广泛采用的方法是时间平均法，即把湍流运动看作由两种流动叠加而成：一是时间平均流动；二是瞬时脉动流动。这样，将脉动分离出来，便于处理和进一步的探讨。现引入Reynolds平均法，任意变量ϕ的时间平均值（时均值）定义为
（3.3）
式中，ϕ的上划线“-”代表对时间的平均值。
如果用上标“'”代表脉动值，物理量的瞬时值ϕ、时均值
及脉动值ϕ'之间有如下关系：
（3.4）
采用时均值与脉动值之和代替流动变量的瞬时值，即
（3.5）
将式（3.5）代入瞬时状态下的连续方程式（3.1）和动量方程式（3.2），并对时间取平均，得到湍流时均流动的控制方程：
（3.6）
（3.7a）
（3.7b）
（3.7c）
对于其他变量ϕ的输运方程作类似处理，可得
（3.8）
在上述各方程中，假设流体密度为常数，但在实际流动中密度可能是变化的。在此，忽略密度脉动的影响，只考虑平均密度的变化，可以写出可压湍流平均流动的控制方程（为方便起见，除脉动值的时均值外，下式中去掉了表示时均值的上划线符号“-”，如用ϕ来表示）。
（1）连续方程
（3.9）
（2）动量方程
（3.10）
（3）其他变量的输运方程
（3.11）
式（3.9）是时均形式的连续方程，式（3.10）是时均形式的N-S方程。由于在式（3.3）中采用雷诺（Reynolds）平均法，因此，式（3.10）称为Reynolds时均N-S方程，又称为Reynolds方程。式（3.11）是场变量ϕ的时均输运方程。
为了便于后续分析，现引入张量中的指标符号改写式（3.9）～式（3.11），则有如下方程：
（3.12）
（3.13）
（3.14）
式（3.12）～式（3.14）就是用张量的指标形式表示的时均连续方程、Reynolds方程和场变量ϕ的时均输运方程。式中i和j的指标取值范围是（1，2，3）。
式（3.13）里多出与
有关的项为Reynolds应力项，即
（3.15）
式中，τij实际对应6个不同的Reynolds应力项，即3个正应力和3个切应力。
由式（3.12）～式（3.14）构成的方程组共有5个方程（Reynolds方程实际是3个），在新增了6个Reynolds应力，再加上原来的5个时均未知量（ux、uy、uz、p和ϕ），共有11个未知量，因此，方程组不封闭，必须引入新的湍流模型（方程）才能使方程组式（3.12）～式（3.14）封闭。