4.2　量子化——旧协变方法

下面介绍玻色弦理论的量子化。将玻色弦理论量子化的方法有很多种，这些方法都是等价的。当然，每种方法都具有一定的优势。通常有两种协变方法：第一种是基于X坐标的描述，该坐标仅在对应于维拉宿约束条件的福克空间上具有约束，这些约束类似于电动力学中的Gupta-Bleuler条件。第二种是现代协变量子化方法，该方法具有更深层次的几何基础（将在下一章介绍）。

4.2.1　对易关系及模展开

在4.1.3节的经典协变库仑规范中，我们利用再参量化和外尔尺度对称性建立了与平直2-维闵氏度规等价的世界片度规。在量子理论中，必须更仔细地考虑这一过程的有效性。通过改变关于的作用量得到能量-动量张量的无迹性，外尔尺度对称性是可靠的。一般来说，量子理论给出的结果在的迹中会出现异常，仅在十分特殊的情况下这种异常才不会出现。历史上解决这一问题的第一个办法是令。后来的分析表明，一个令人满意的理论要求时空维度和基态质量具有确定无疑的自洽性。4.1.3节中描述的光锥量子化，仅是物理近似，其中以开始，然后加上规范约束。正如我们将看到的，在质量和时空维度上也会导致同样的约束。

以最传统的逼近开始，我们在量子理论中令，探讨所导致的结果。早先已经证明，按照这一规范，经典弦理论动力学由作用量

描述，增补的辅助条件为

其对应于，以及合适的开弦和闭弦边界条件。的共轭动量为

是在式（4.1.65）中引入了动量流的τ分量。从经典物理迈向量子物理的标准方法是用对易子括号替代泊松括号，即

现在可以把解释为量子算符，用典型的对易关系（τ时刻）替换式（4.1.55），得

式（4.1.56）和式（4.1.57）同样被等时算符替代：

而和有下述对易关系：

自然被解释为谐振子的升、降算符，对应于m的正、负。若m>0，则振子基态定义为被湮灭。实际上，处于基态的谐振子并不能完全决定弦的态，另外的自由度是质心的动量。若m>0，一个态被湮灭，并且该态具有质心动量，则我们称这个态为。

与传统归一化的谐振算符相关联：

最重要的一点是，对基态通过上升算符建立起来的福克空间不是正定的。时间分量在对易关系中有一个不平常的减号，即。因此，形如的态具有负规范，即。弦态允许的物理空间是完整的福克空间的子空间，它由确定的辅助条件来说明。为了得到合乎情理的因果理论，要求物理子空间不受负模态的影响，这个负模态就是通常所说的“幽灵”。

经典理论的辅助条件表明，对应于能量-动量分量和的消失，其傅里叶模给出了维拉宿生成子：

对于闭弦，也有类似的表达式。在量子理论中，是算符，所以必须解决排序问题。因为要想以交换，除非m=0，只有这种模棱两可的排序出现在的表达式中。在某一时刻，如果我们没有合理的方法解决排序问题，可以简单地定义为下述正则序的表达式：

由于一个任意常数出现在式（4.2.14）中，所以必须对所有包含的公式加一个待定常数。在经典理论中，强加约束的重要例子是，对弦许可的运动，必须为零。正是这个条件给出了关于质量的公式。最朴素的量子力学模拟的要求是应该湮灭物理态。由于正则序的模棱两可，我们列入一个待定常数，并且物态必须满足：

式中，为待定常数。正如我们在经典理论中知道的，式（4.2.15）决定了弦在振荡的初始状态的质量。事实上，式（4.2.15）明确了在开弦情况中，当时有

这表明振荡子的基态具有质量平方-2a，而激发态具有的质量平方比-2a大2的倍数。对于闭弦，条件给出：

闭弦基态质量平方是开弦基态质量平方的4倍，这一事实在第3章中已经以另外的方法解释过。去掉式（4.2.17）中的-8a，或等价地设定条件，得

在所有的约束方程中，这是唯一一个左-动模与右-动模耦合的方程。

在和中，和对应于那些非零频率的项。正如电动力学中Gupta-Bleuler条件，在经典理论中这些项的消失是由于被量子理论替代，正频分量要求湮灭物态，即

这充分保证了算符，对正m和负m，以合适的顺序在成对的物态之间使矩阵元消失。令和为两个物态，它们遵守式（4.2.15）和式（4.2.19）。

考虑表达式：

如果式（4.2.20）中有一项nk=0，则相应的应当由代替。因为不互换（我们马上发现量子异常，该异常将在对易子中导致c-数异常），所以式（4.2.20）的值依赖于算符的排序。由于物态条件或者厄米性，所以若对右边的nk为正，而对左边的nk为负，则式（4.2.20）为0。这是我们在量子水平上对经典态的最贴近的解释。这里的经典态有，对允许的经典态的弦运动，全部为零。由于的不规则对易关系，我们不可能找到全部的湮灭态。

在角动量计算中，不存在排序的歧义：

这已在式（4.1.70）至式（4.1.74）中引入。由于不存在排序的问题，它们可以毫无疑义地解释为量子算符。使用典型的对易关系证明庞加莱代数并不困难：

事实上，由诺特流产生的庞加莱生成子遵从庞加莱代数。

4.2.2　维拉宿代数和物态

正如已经解释过的，我们构建的具有振荡子和的福克空间不是正定的，因为对易关系的时间分量是负度规。然而，，物态对应的子空间满足维拉宿条件，即。可见，在振子中～二次项。在静止标架中，物态将由振子的空间分量生成。这表明，计算条件给了幽灵退耦的充分机会，而二次项扮演着重要角色。对于确定的常数值和时空维数D，幽灵谱是唯一可能的。要仔细调查这件事，需要研究维拉宿代数。

我们已经求出维拉宿代数的经典形式，即

在先前的讨论中，我们通过有效步骤，已经在量子水平上得到式（4.1.81）。进而，只要，从式（4.1.81）到式（4.1.82）的推导过程在量子力学上都是符合逻辑的，所以不存在式（4.1.82）的量子修正问题。对于的情况，式（4.1.81）中的两个无限和的每一项都存在量子水平上无限规范序的歧义。一方面，因为这两个无限和的每一项定义都不清晰；另一方面，由于当时式（4.1.81）产生的规范序歧义仅涉及一个c-数，我们保证

成立。式中，是一个m-依赖的c-数。这个广义代数是人所共知的维拉宿代数的中心展开，c-数是该代数的异常项。由式（4.2.26）有，，故对正m，它足以决定。通过对式（4.1.81）中两个无限和的规范序的研究来直接计算十分棘手，而采用下面的方法比较简单。雅可比恒等式为

对于k+n+m=0，有

令k=1，m=-(n+1)，得

依据A(1)和A(2)递推足以确定所有的A(n)，于是A(n)的一般形式决定于两个未知系数。其通解为

式中，和为常数。可以证明，式（4.2.30）的确遵守式（4.2.28）。常数能通过改变的定义而改变，而可用一个常数定义。

必须十分小心地对算符和进行评估，以便得到修正的异常贡献。确定最安全、最简单的方法是在合适的态中计算的期望值。对于这个合适的态，最方便的选择是振子的基态，即。对m=1，有

和中的每一项都湮灭一个零动量基态，但对于m=2，有

根据这些信息足以确定，然后可得

注意，、和生成一个封闭的子代数，没有异常，同构于SU(1,1)和SL(2,R)。

现在讨论开弦，与闭弦的情况几乎完全相同，利用一对振子和维拉宿条件进行分析。

事实上，在第n个闭弦质量水平上的物态可以表达为赫尔伯特空间的张量积，该空间的物态由左-动振子形成，而左-动振子除了具有约束条件式（4.2.18），还具有右-动振子形成的物态的赫尔伯特空间。左-动和右-动的物理空间等价于开弦物理空间。于是，我们不如探索负模态。

注意开弦基态的动量，如。质量壳条件意味着。考虑第一激发态，由给出，是D-维独立分量的极化矢量，已经考虑约束。质量壳条件现在给出了，而辅助条件意指。这一条件保留了允许的(D-1)-维极化。这些态的模由给出。若选择矢量在(0,1)平面上，则具有（类空）极化模的(D-2)个态具有正模。换言之，如果是超光子，，则可没有时间分量，最后的是类时的，具有负模；若，则可选为仅有时间分量，最后的是类空的，具有正模；若，则最后的正比于，具有零模。于是我们得到幽灵缺席的第一条件：

在边界上（），矢量粒子无质量，标量基态是超光子。在这种情况下，的辅助条件对应于电动力学的约束规范条件。正如电动力学的Gupta-Bleuler约束量子化，该约束保留了具有横向极化的(D-2)个正模态，以及一个纵向的零模态。

当时，“零态”出现在第一激发态，恰是无限数目的这类态的第一个。结果发现，在第一激发态，能够通过下述考虑加以推广。如果一个任意的态满足条件（对m>0）及，则称其为物态；如果一个态满足条件，并且与所有物态正交，即

则称其为伪态。伪态总能写作下述形式：

式中，满足：

事实上，式（4.2.36）中的无穷级数被截取了顶端，因为对于n3，可表达为和的迭代交易子，如～。于是，可简单地写出一个伪态：

式中，遵守式（4.2.37）。形如式（4.2.38）的态正交于物理态，因为：

一个伪态必须能表达为式（4.2.36）或式（4.2.38）的形式。如果是伪态，那么算符湮灭了所有的物态。由于一般物态上的唯一限制是，对m>0，它们被湮灭，这意味着，对算符，O可以写为

式（4.2.40）与一起意味着具有如式（4.2.36）所示的表达形式。

当既是伪态又是物态时，有

由式（4.2.36）知，这类态具有零模，因为：

这些态与所有物态（包括它们自身）正交（有时说成“真真空态”）。

考虑伪态的形式，我们可以构造这种类型的态：

式中，是满足和的任意态，其中可以是零动量态，或者任何物态都对有所改变的态。此外，对于伪态，态也满足除条件之外的所有物理条件。

然而，在26-维时空中零模态的数目增加，这是在考虑伪态的下述结构时发现的：

这里取，要求对m>0，有及，故。具有零模，它必须是物理的，特别是它应该被（m>0）所湮灭。由于m3，令态湮灭，我们仅需考虑在假设条件下，是否可应用维拉宿代数，该式给出了方程3-2γ=0，以及，这意味着γ=3/2，D=26。故当D=26时有更多的零模态：

不同于第一个无穷大种类的零模态，式（4.2.45）的模态当且仅当D=26时为零。形如式（2.2.44）的态的第一个例子为

式中，。这个态具有模(D-26)/2，当D=26时模为零。当D<26时模为负这个结论是没有根据的，因为这不符合物态条件。

物态的负模可以构建为D>26。在这种情况下，我们在物理谱中发现了幽灵。

通常的物理法则是，如果a=1和D=26或a<1和D<25，则频谱是无幽灵的。

仅通过研究自由理论来证明D必须等于26是不可能的。其原因是，如果D=26的理论不存在幽灵，那么通过研究u=25*时振子处于基态的子空间，我们得到了D=25的理论的物理起点，它也一定不存在幽灵。我们期望证明，在这种形式的树水平上，D=26是最自然的情况。对于D<26的情况，实际属于26-维理论。上面的极端零模态的出现仅在D=26时发生，首次印证了这一点。这些十分特别的零模态具有十分重要的意义。所以，对于D=26时极端零模态的出现，建议该理论扩展规范不变性，并且将其作为最有趣的研究课题。另外，零模态的无穷级数总是出现在时，这十分有趣。所以我们认为，开弦基态是质量平方为-2的超光子，第一激发态是无质量矢量介子。

4.2.3　顶点算符

基本的开弦相互作用可看作一个过程，即单一的弦分裂成两个，或者两个弦结合成一个。一般地，如图4.4（a）所示，我们可以思考弦的相互作用，其中3个参与作用的弦都没有质量壳。然而有意思的是，图4.4（b）中3个弦中的一个是物理质量壳本征态。根据图4.4来概括叙述1的过程，其中弦态2是质量本征态，1和可以是也可以不是质量本征态。弦的质量本征态的概念是量子力学概念。若我们恢复所有公式中的普朗克常数，则质量本征态有一个宽度和一个量级的质量平方。于是，经典极限中弦的任何质量本征态类似于点粒子。1的转换过程伴随壳态2的发射，量子态必须通过某个线性变换与量子态1相联系，这个变换依赖于弦2的态。弦2类似于一个点，自然猜想弦是由弦1通过局域算符在弦2的端点发射出来的。局域算符通常叫作，是发射壳态2的顶点算符。这一设想导致我们猜想每个壳上物态都有一个顶点算符。讨论顶点算符的目的不是分析相互作用，而是发展关于物态谱分析的工具。对于第3章中所讲的内容，这是有益的补充。为此，我们集中讨论开弦。

在开弦的赫尔伯特空间中，考虑一个局域算符，令σ=0或者σ=π，在弦的端点处研究这个算符。为了便于计算，将记作。当为弦的哈密顿量时，有

考虑算符，通过维拉宿代数，它变换为自身。如果在变量τ的任意变换下，变换为

则具有共形维数J。式（4.2.48）等价于在3.4.5节中使用的定义，算符的维度从它的两-点函数中提取。考虑无穷小变换：

共形维数J的变换定律为

的生成变换式（4.2.49）与共同构建了如式（4.2.51）所示的对易关系：

式（4.2.51）中包含J，所以A具有共形维数J的条件。

如果具有傅里叶形式的模展开式，即

则对于傅里叶模这一条件变为

易证这一规则与维拉宿代数和雅可比恒等式兼容。例如，根据式（4.2.53）弦坐标具有J=0，动量算符具有J=1。稍后我们在讨论法捷耶夫-波波夫幽灵时，将会看到幽灵坐标c具有J=-1，而反幽灵坐标b具有J=2。算符变换，如式（4.2.51）中的关于某个J的定义，是说它具有共形维数的定义，是维拉宿代数中非常“漂亮”的变换。

定义了共形维数的算符是相当特殊的。每个算符都能展开为定义了共形维数的算符的线性组合，这绝对不是事实。对于我们当前的任务，引入定义了共形维数的算符的作用是，它们可用来构建新的物态。事实上，若是一个物态，（），并且具有共形维数J=1，则容易看到，故

也是一个物态。由于顶点算符与物质本征态2的发射相联系，因此应把初始物态1映射到终态上，由式（4.2.54）知开弦顶点算符应该是一个共形维算符。我们的确以另一种方法理解了开弦顶点算符乃局域算符。

顶点算符是动量为的物态在时刻τ或时的发射，或者是动量为的物态的吸收。不论发射还是吸收，必须通过一个量改变它所作用的态的动量。于是，弦的质心坐标必须由一个量改变它所作用的态的动量。所以，弦的质心坐标必须由因子组成，这里

是弦在时刻的质心位置。在弦的背景中实现这一目标的方法是在中包括一个因子。事实上，在世界片处弦吸收一个质量本征态的动量是自然的事情，并且在时空位置处应存在由因子修改过的波函数。如果吸收或者发射的弦除了它的动量没有特别的量子数，则可将=简化为一个顶点算符。规范序的表达式为

由式（4.2.55）定义。式（4.2.56）的指数不同于没有规范序的那一类，因为和式是发散的（所以规范序在特殊情况时没有影响）。

现在计算的共形维数。鉴于具有共形维数J=0，可以预期，形如，以及更一般的复合算符也具有共形维数J=0。事实上，由式（4.2.56）知，如果具有共形维数，具有共形维数，那么只要定义完好且没有任何减损或者需要分别定义和之外的其他内容，其积具有共形维数+。

的共形维数可由明确的振子操作来确定，只是要跟踪顺序效果。为了评价算符，我们从式（4.2.57）开始分析：

利用表达式，容易证明：

在应用式（4.2.58）对进行求值时［V由式（4.2.56）给定］，设m>0（关于m<0的讨论，与此相同），忽视规范序的问题，容易计算式（4.2.54）在J=0时的结果（用V替代A）。然而，V被定义为规范序的表达，即，这意味着导数dV/dτ也是规范序。当根据式（4.2.58）得到的表达式时，人们就成功地得到了不是规范序的表达式。在无穷项数的计算中，一个有限的数不以规范序的形式出现，那些特别的项对于V中上升算符的左边具有较低的阶，并且由式（4.2.59）给出：

规范序这一表达式给出了算符的贡献：

于是，结果为

将式（4.2.61）与式（4.2.51）进行比较，得。在第3章，我们通过计算其两-点函数，计算了算符的异常维数，对闭弦得到；对于插入在边界上的开弦得到。这里得到的与在开弦中得到的结果一致。

顶点是具有共形维数J=1的物理顶点算符。该值是由得到的。对于基态超光子的发射，它确实是合适的顶点，其质量平方暂时定为。

在中，唯一不需要规范序的情况是，在这种情况中，J=0。条件的情况是对无质量介子的修正，但是J=0是关于顶点算符的错误共形维数。因为具有共形维数1，人们可以解释：

为顶点算符关于无质量介子发射的极化。式（4.2.62）中和积的短距离奇点不存在，确保V具有共形维数1。具有共形维数1的顶点算符是与物态一一对应的，此处仅是这一事实的一个例证。谱中其他态的顶点算符更加复杂。对于具有的态，其普遍形式是，这里的微分的总数添加到n中。但是，存在附加的限制，即J=1。

零模态的顶点算符的描述如下：假设是共形维数为0的算符，包含因子，则具有共形维数1。若选=具有，则对于具有纵向极化的无质量矢量介子的发射，可被视作顶点算符。跳过前面的风险，我们注意到零模态退耦的理由是，V作为的一个总导数，如同式（4.2.54）中的零频分量，映射物态到物态上而消失。作为进一步的例证，考虑第二激发能级的发射顶点，态具有。因子具有共形维数，所以

具有共形维数，在式（4.2.63）的算符积提供了没有短距离奇点的情况。有人会想，在同样质量水平上，自旋为1、极化为的物态制造一个顶点算符是可能的。然而，若，则总导数

描述了零模态的发射，且视作(D-1)-维的Y的可能分量。因此，这些Y的分量不同于式（4.2.63）的表达。