5.2　BRST量子化

1970年法捷耶夫在狄拉克约束理论的基础上考虑物理系统在相空间的固有约束得到含有第一类约束系统的路径积分量子化。1976年，Senjanovic找到了含有第一类约束和第二类约束的路径积分量子化的方法，叫作F-S路径积分量子化。这是比法捷耶夫-波波夫量子化方法更严格的库仑规范的量子化方法。用F-P和F-S处理非阿贝尔规范场能得到相应的结果。非阿贝尔规范场经过量子化处理之后，在拉格朗日作用量中新增了规范固定项和规范补偿项（我们将后者称为幽灵场），从而保证了系统的幺正性。但是幽灵的引入也带来了新的问题，即拉氏量中的幽灵是不是物理量。1974年，Beechi、Rouet和Stora发现原始拉氏量不具有规范不变性，但有效拉氏量有了新的规范不变性，即BRS规范不变性。现在这一不变性已经被BRST规范不变性代替。这一规范不变性将对易量与反对易量关联起来构成一种新的、范围更广的超对称变换，即将费米子和玻色子组合起来构成可以互换的超对称变换。BRST量子化包括F-P量子化和规范理论量子化。

幽灵的合并给我们提供了没有异常的维拉宿生成子，它们遵守初等代数关系，即[Lm,Ln]=(m-n)Lm+n。异常的缺位意指我们可以用更加简单的方法施加约束方程，使得对所有的n，态|x>遵守Ln|x>=0。然而幽灵的合并也带来了新的难题。现在我们工作在一个包含幽灵和反幽灵的、激发的更大的福克空间中，就像坐标的激发一样。如何鉴定物态呢？这一问题的答案已由BRST量子化给出了。

BRST量子化首先在杨-米尔斯理论量子化中引入。人们发现，在杨-米尔斯规范确定之后，存在费米总体对称性，这个没有破缺的对称性在分析可能的抗衡项的结构时很有用。迫在眉睫的一个技术问题是，如何在既包含又包含幽灵和反幽灵的大福克空间中鉴别物态，BRST量子化给出了这一问题的答案。

5.2.1　BRST荷的构建

考虑任何具有对称算符Ki的物理系统，Ki组成一个闭李代数G：

式中，是G的结构常数。BRST量子化涉及反幽灵bi的引入，bi在G的伴随表示和幽灵ci中变换，它们遵守正则反对易关系：

定义幽灵数U为

在无限维李代数的情况中，需要减去一个规范序常数。为了与数学文献一致，我们暂时回避这个步骤。注意，U的本征值是从0到n的整数，而n是李代数G的维数。引入算符：

对物理学家来说，Q是众所周知的BRST算符；对数学家来说，Q是计算李代数上同调的算符，具有Ki定义的表达式中的值。是G的结构常数。Q的基本性质是

Q2=0

（5.2.5）

证明式（5.2.5）必须使用对易关系式（5.2.1）及等式

式（5.2.6）可由通过雅可比等式产生的式（5.2.1）得到。

令Ck为幽灵数U=k的态的赫尔伯特空间。Ck中的态称为BRST不变量，如果

则有一个由式（5.2.5）寻找BRST不变量态的方法，即任何形如的态都不变。λ要求具有幽灵数k-1，因为Q的形式表明，它改变了任何态的幽灵数，其作用量是+1。式（5.2.7）有趣的解是那些不能写成形式的解。给定式（5.2.7）的两个解和，如果在

意义上对某个λ，是式（5.2.7）的平凡解，则认为两个解等价。幽灵数k的式（5.2.7）解的等价类在刚刚叙述的条件下具有数学文献中的形式并且等效的两个解，叫作李代数G的第k个上同调群，通常记作。等价类称为上同调类。

特别有趣的是幽灵数为零的BRST不变量态。幽灵数U的形式表明，幽灵数为零的态χ必须被所有的废止，故作用在这类态上，Q中的第二项消失。事实上，对这类态有

一个由废止的态不能被任何的废止，故条件Qχ=0与

Kiχ=0，i=1,2,…,n

（5.2.10）

等效。于是，幽灵数为零的态χ是BRST不变量，仅当它是G不变量。此外，幽灵数为零的态χ不可能写成χ=Qλ的形式，因为不存在幽灵数为-1的态。所以幽灵数为零的态遵守式（5.2.10），是与幽灵数为零的上同调类同样的东西。故上同调群与幽灵数为零的G-不变量态空间相同。当然，幽灵数为零的态是被幽灵废止算符bi废止的态，因此不包含任何幽灵。

上文中说过的大多数问题能在无穷维李代数（如维拉宿代数）中求出来。不过，有几点区别。方程Q2=0可能会受到异常的影响，所以必须仔细检查。此外，幽灵数U包含一个规范序常数。鉴于此，有理由期望弦的物态是某个限定幽灵数的BRST上同调类χ（模规范变换χ→χ+Qλ），假设这个限定的幽灵数为零。物态的幽灵数是规范序常数，该常数依赖于人们选择的物理系统。

现在选择G为维拉宿代数，并执行BRST程序。对应于维拉宿生成子Lm，其中m是任意整数，我们需要引入幽灵cm和反幽灵bn，这恰是早先幽灵量子化过程中考虑的傅里叶模。BRST算符是

式（5.2.11）中使用了维拉宿结构常数的显式。比较Lm的两种形式，即物质和幽灵场，得

若m=-n，则式（5.2.12）变形为

式中，

类似地，幽灵数算符是

式（5.2.15）中需要规范序。当然对于闭弦，这些公式要加上第二组左-动幽灵和振子的贡献。

物理系统中有一个重要性质，BRST算符Q和幽灵数U能够作为守恒荷的积分得到（一般的介绍性讨论不能保证这一点）。BRST流定义为

而通过-←→+转化得到。已经在式（5.1.44）中得到，也已经在4.1.3节中得到。幽灵数流定义为

而J-通过-←→+转化得到。由b和c的运动方程及能量-动量张量在世界片上的守恒定律易知，这些流是守恒的，即

对应的守恒荷确实是BRST荷，即

而幽灵数为

更准确地说，这些公式在开弦情况下相对于前面的公式减少了；在闭弦的情况中，我们已经在式（5.2.19）、式（5.2.20）中加上了左-动模和右-动模。

从经典观点来看，先前的讨论确保了Q2=0。但是在量子水平上这是否是真的呢？为了调查这一问题，我们注意：

式中，Lm由式（5.1.53）给出。因此，对于D=26、a=1，Q2=0，这时式（5.1.54）中异常项消失。

由最后的结果反过来推，得到Q2=0，这意味着我们能够证明维拉宿代数没有异常项。为验证这一结论，我们首先注意，式（5.1.53）维拉宿生成子由

给出，作为Q2=0的一个推论。用类似的方法，完整的维拉宿生成子代数闭合而没有一项异常：

定义任意物理量Y的BRST变换为

式中，λ是恒量格拉斯曼参数。我们能证明坐标满足：

类似地，有+←→-转化公式。是完整的能量-动量张量。显然，这一变换的平方为零，且对应于洛伦兹规范作用量的不变量。

现在研究幽灵数的规范序：

因为没有明显、自然的处理规范序的方法，我们将幽灵和反幽灵的零模c0和b0分开。

事实上，c0和b0都与哈密顿量对易，所以基态具有由下述事实引起的简并：必须提供这些算符的表示。c0和b0存在反对易关系，。这些对易关系的不可约表示需要两个态，即。可以分别选c0和b0为消灭算符，它们遵守：

何谓的幽灵数呢？显然由式（5.2.31）可得，但是这并不能确定的单独值，即使在U的定义中它们的确依赖于正则序常数。最对称的选择是。这种选择对应于式（5.2.28）中严格的规范序惯例。这意味着幽灵数的本征值是半整数。

我们希望物态能够描述为BRST上同调类的某确切的幽灵数。因为我们期望物态不需要包含幽灵激发态，经过一个可能的变换之后应该有可能将物态放到某种形式中，在这个形式中幽灵波函数正比于两个基态中的一个。因此，物态幽灵数的可能选择是。做出选择不是简单的惯例问题，因为幽灵场和反幽灵场在超弦理论中并不对称。例如，它们具有共形维数-1和2。正确的选择是物态具有幽灵数-1/2。实际上，令χ为被幽灵和反幽灵废止算符，即

废止的态。我们可以认为这样一类态不包含幽灵和反幽灵。此外，我们假定χ具有幽灵数-1/2，并且被b0湮灭。作用在这种形式的态上，BRST不变性条件简化为

于是单一条件再生了所有更古老的协变量子化物态条件。如果我们反而选择具有幽灵数+1/2（所以是被c0湮灭而不是被b0湮灭），式（5.2.33）等号右边的第一项将退出，我们就不能得到所有的物态条件。

总之，玻色弦理论中的物态是幽灵数为-1/2的BRST上同调类。事实上，完成这一陈述的证明，必须建立其逆命题。给定一个幽灵数为-1/2的态χ，它是BRST不变量，证明这个态可以写作的形式，这里χ'遵从式（5.2.32）。因此对应于旧语言的物态，用我们刚才描述的语言嵌入扩展的福克空间。虽然这个过程十分清晰，但是一个完整而经济的证明似乎没有出现。

5.2.2　维拉宿异常的协变计算

本节我们介绍维拉宿异常的协变计算。维拉宿对易关系的一般形式是

式中，两个异常系数a和b中，仅a具有不变性，b可以被吸收到中出现的规范序常数中。若，则有，这时。

考虑世界片上共形不变的自由弦理论，自由玻色场正是整个复平面，为

ϕ的传播子是

式中，μ是红外截断。引入，|ϕ>遵守自由波函数方程：

这意味着ϕ可按照

分开。式（5.2.38）的分离有些模糊，我们可以在上加一个常数，同时从上减去同样的常数。在当前的讨论中，我们在复平面上用式（5.2.35）表示量子场理论。在无限体积极限中，式（5.2.38）中零模的含糊不清并不重要，但当在有限体积中讨论玻色化时，它立刻变得很重要。容易给出和的显式：

式（5.2.39）显然遵守式（5.2.38），这时。式（5.2.39）中的两个等式利用运动方程很容易验证。

当仅是关于的函数时，也仅是关于的函数，两-点函数<>必须消失。这时<>必须仅是关于的函数，而<>仅是关于的函数。将式（5.2.36）写为

我们有足够的信息解出分立的部分：

当然，式（5.2.41）也能用式（5.2.39）验证。

下面介绍世界片能量-动量张量：

也有类似的公式。能量-动量张量遵守：

在评估维拉宿代数时，借用众所周知的流代数中的技巧。考虑时间序两-点函数，它并不守恒，而是遵守类-瓦德恒等式：

在流代数中式（5.2.44）像往常一样出现。因为在将拉进T-积的过程中会得到一个等时交换子。

在式（5.2.44）的等号右边，交换子的期望值提取该交换子的c-数片，它就是维拉宿异常。因此，我们可以通过评估式（5.2.44）的等号左边的式子来评估维拉宿异常。在自由场理论中能量-动量张量的两-点函数由简单的单圈图给出，如图5.1所示。不需要任何积分，在坐标空间中评估图5.1，仅取各种传播子的积。由式（5.2.41）、式（5.2.42）可得

式（5.2.44）的等号左边包括

乍一看，这似乎消失，但是事实上：

由此可得

于是，式（5.2.44）和式（5.2.45）对应于一个能量-动量交换子在相等τ点的异常部分：

式中，下标A表示仅评估交换子c-数部分的异常。

在本评估中，我们已经在平面上将自由场理论公式化，但是异常部分，即式（5.2.49）仅由自由场理论的短距离行为所决定，故式（5.2.49）仍然有效，如果在闭弦的一个世界片上将理论公式化，则式（5.2.49）同样有效。这时我们定义维拉宿生成子为T++的傅里叶动量距为：

式中，T++为能量-动量张量，而式（5.2.49）给出了式（5.2.34）中至关重要的系数a的公式，即

这与以前的评估一致。

这种计算方法的优点是，在某种意义上证明了维拉宿异常的必然性。对式（5.2.45）的依赖完全决定于尺度不变性，并且约束了任何(1+1)-维时空中的共形不变理论。仅的系数在另一个共形不变理论中可能是不同的。对于物理自由度，这个系数在任何场理论中都必须为正，因为两-点函数的厄米共轭算符T++必须为正。在维拉宿异常中仅幽灵可以消除。

要明白这是怎么回事，需要考虑描述幽灵的共形不变场理论。回顾式（3.1.15），我们聚焦于幽灵左-动模的作用量：

关于～的两-点函数是

其能量-动量张量不能由平直世界片作用量，即式（5.2.52）单独地决定，因为事实上

对任意的k都守恒。由于式（5.2.54）中的k依赖项是总导数，故由T++构造的能量和动量算符独立于k。关于弯曲世界片上幽灵作用量的研究表明，k=3是正确值，但是留下k作为自由参数，以备后续工作中我们将遇到k具有其他值的系统。式（5.2.54）的傅里叶模与式（5.1.50）一致，若取

J=(k+1)/2

（5.2.55）

对称地处理b和c，将求得k=0。这时b和c在标度和共形变换下作为共形维数为1/2的常规费米场进行变换。引入非零k，通过k中的线性量用T++转移任意场Z的交换子。计算知，对k=3，b++具有共形维数2，而c具有共形维数-1。从线性化的视角看，k中b和c的共形维数分别是(1+k)/2和(1-k)/2。我们称这时的幽灵数流是J+=c+b++。式（5.2.54）中的k依赖恰是幽灵数流的导数，并且任何物理场Z的共形维数的k依赖部分仅依赖于Z的幽灵数。于是，令dZ为k=0时Z的共形维数，再令g(Z)为Z的幽灵数。Z在一般k处的共形维数是

利用共形维数的定义，不难验证这一判断，而式（5.2.54）中的k依赖项是幽灵流的导数。

注意，式（5.2.54）中的b++和c+显然是反对易变量。若取b++=c+，则根据费米统计学可知，k依赖项将消失。再回到式（5.2.54），直接利用生成子的形式计算两-点函数的能量-动量张量，包括评估单圈图（见图5.1），可得

若使k=3，且将式（5.2.57）与式（5.2.45）进行比较，我们可看到幽灵能消除26-维玻色子的维拉宿异常。这就是维尼齐亚诺模型至关重要的维数为26的原因。若使k=2J-1，我们可看到式（5.2.57）的k依赖项与式（5.1.52）中的相同。

5.2.3　维拉宿、共形和引力异常

在5.1.1节的结尾，分析式（5.1.14）中的Dϕ积分时，我们有一个判断：在D=26时，这个积分可以丢弃。本节我们将建立这一命题，证明在D=26的条件下，当维拉宿异常消除时，度规的外尔重新调节恰是有效的。这里关键的思想为二维共形不变理论的普遍性质。为此，我们考虑自由费米子理论。

考虑一个真正的右-动马约拉纳费米，其作用量为

能量-动量张量的两-点函数由式（5.2.57）给出，令式（5.2.57）中的k=0，且除以2（因为我们仅有单模，而没有b和c），有

这里我们考虑动量空间。在动量空间中，，的傅里叶变换是1。因此，式（5.2.59）的动量空间对应的是

在平直世界片上优先考虑式（5.2.59），把它解释为T++对它自身的对易子c-数异常的证据。现在考虑式（5.2.59）的意义和式（5.2.60）关于费米子在弯曲世界片上的传播。由平直世界片度规求一阶偏差，得

式中，是度规中的扰动，我们将处理到最低阶次。物质与引力场的相互作用由式（5.2.62）给出：

对于由式（5.2.58）所描述的简单系统，仅的非零分量是T++，所以与的耦合是

我们在引力场中计算诱导费米子的能量-动量张量的期望值。观察式（5.2.63），从式（5.2.60）可以读出诱导费米子的能量-动量张量的期望值为

现在验证能量-动量守恒这一物理原理。在引力场背景中，我们期望：

当前，由于仅T的非零分量是T++，并且对引力场的最低阶可以用普通导数替代协变导数，所以式（5.2.65）可简化为。由式（5.2.64）可得有关于异常的公式为

式（5.2.66）中第一个等号左边的式子应该消失，除非<T++>=0。这意味着在所有引力中不存在耦合。在手征费米子与引力的耦合中，能量-动量守恒的崩溃称为引力异常，意指二维时空中手征费米子与引力的耦合是不可能的，除非有额外自由度增加从而使异常消除。

式（5.2.66）中第二个等号右边是关于动量的多项式，所以将展示为f--的局域函数。这是异常的普遍性质。异常可以理解为紫外效应，它必须由局域函数给出。虽然式（5.2.66）是局域的，但式（5.2.64）不是由它推导出来的，故不能通过对式（5.2.64）增加局域项来消除式（5.2.66）中的异常。

考虑一个像右-动费米子理论一样的左-动费米子理论。的作用量是

与式（5.2.64）类似的公式是

由于式（5.2.66）变为

式（5.2.69）可看作式（5.2.68）的另一种表示形式。然而，式（5.2.69）和式（5.2.66）之间存在显著差异。在式（5.2.69）的情况中，能量-动量守恒的异常违背能够通过对式（5.2.68）增加局域抵消项而被消除，写出：

现在终于实现了能量-动量守恒：

结果，由式（5.2.58）和式（5.2.67）之和描述的理论中既有左-动费米子又有右-动的费米子，其始终能够与引力耦合。在度规的外尔重新标度下，尽管形式上表明式（5.2.58）和式（5.2.67）是不变量，但式（5.2.70）的形式有一个致命的后果。事实上，在我们设法尊重能量-动量守恒的时候，我们发现能量-动量张量不是无迹的，而是通过式（5.2.70）的第二个方程对f中的最低阶有一个给定的迹，该方程是对下式的近似：

式中，是弦世界片的标量曲率。

考虑一般的二维理论，其在平直世界片上是标量不变的，故，并且对于某些恒量c和d有

根据以上几节的讨论，这里的c和d可分别解释为左-动模和右-动模的维拉宿异常。在将这个理论与弯曲世界片耦合时，能量-动量守恒崩溃，除非c=d。如果c=d，则外尔不变量丢失，具有式（5.2.72）形式的异常，除非c=d=0。

将这些考虑应用于维尼齐亚诺模型，在任何维数D的时空中，该模型具有（包括幽灵）c=d=(D-26)，故对任何D，甚至在弯曲世界片上，世界片能量-动量张量守恒。然而，在c=d=0时，D=26的世界片的能量-动量是无迹的，并且正是在这种情况下，用来消除式（5.1.14）中的ϕ积分的外尔不变性是有效的。

由式（5.2.52）推导的幽灵运动方程是

仿照式（5.2.74）的推导过程，我们发现ϕ+遵守同样规律的方程：

式（5.2.75）出现的问题是，是否可以由右-动玻色子来表达反对易不变量，如b++和c+。

引入两-点函数：

式（5.2.76）其描述费米子场理论，与式（3.2.53）类似。我们能够在再生这种两-点函数的玻色理论中找到这种再现两-点函数的算符吗？令

式中，μ是式（5.2.41）中的红外截止。利用式（5.2.41）中用到的推理方法来计算超光子顶点算符乘积的期望值，Dt的两-点函数是

式（5.2.78）因红外截止μ而为0。将式（5.2.78）与式（5.2.76）进行比较，得到的初始结论为

对此，后面我们将给出进一步的证明。因为幽灵遵守，这一陈述的对应点是。如果我们把Dt的共形维数记作dt，则由式（5.2.78），我们能够读出下列事实：

在后面的章节中，我们需要将式（5.2.78）推广为

当μ→0时，式（5.2.81）为零，除非。这表明一个事实：仅当时，式（5.2.81）的等号左边在→+常数的情况下是不变量；当→+常数是连续对称的自由玻色场理论，且这种连续对称性在(1+1)-维量子场理论中不能自发破缺时，对称性预示着式（5.2.81）消失，除非。直到目前，我们都保留了公式中的红外截止μ，以解释为什么在对增加一个常数的情况下并非不变的可观测值全部消失。红外截止μ总是能删除这类可观察量，这时其他的可观察量在μ→0时全部消失。

为了最后建立式（5.2.79），我们要确定它表示的玻色算符遵守正确的费米反对易关系。我们要建立的典型关系是等τ反对易算符：

为了建立式（5.2.82），我们要研究的乘积为

这里我们使用了式（5.2.39）给出的关于的显式表达。利用公式，重新安排式（5.2.83），将移到等号左边，将移到等号右边。当[A,B]是c-数时这是容许的，利用和的正则对易关系，得

式中，对正x和0，θ(x)是+1。反对易子为零，因为式（5.2.84）等号右边的相因子是σ-σ'的奇函数。

现在寻找关于幽灵数流的玻色子公式。幽灵数流是J+=c+b++，，或者更精确地表示为

在玻色语言中，式（5.2.85）变为

取极限，展开得

将式（5.2.87）嵌入式（5.2.86），式（5.2.87）等号右边的首项给出了c-数，它丢弃了规范序。式（5.2.87）等号右边的第二项乍一看在时消失了，但是这恰是被具有正比于的短程奇异性这一事实所消除的。事实上式（5.2.86）的极限为

这是关于幽灵数流的玻色表达。利用正则变换关系，可得

这就确认了早先的判断，即在中常数移动下的对称性对应于幽灵数。

现在，我们转向在玻色语言中对能量-动量张量进行研究。幽灵理论具有（仅在平直世界片上）幽灵共轭对称性b←→c。幽灵流J+=c+b++在幽灵共轭之下是奇数。以式（5.2.88）的视角［或者以式（5.2.79）的视角］看，我们必须解释ϕ→-ϕ时的幽灵换位。在之前的章节中，我们论证了单参数族的能量-动量张量，即式（5.2.54），该式通过增加幽灵数流的导数来区别彼此。在玻色语言中，对应的单参数族能量-动量张量是

特别地，当k=0时，是独一无二的选择，这种选择在幽灵共轭时不变。利用5.2.2节中的公式容易验证的维拉宿异常正比于1-3k2，恰如在费米语言中一样。

在k=0时算符Dt和D-互为幽灵共轭算符，并且一定具有同样的共形维数。于是，使用式（5.2.80）我们能够看到Dt的共形维数在k=0时是dt=t2/2。当k≠0时，Dt是幽灵数t的一个算符。考虑到就玻色子而言我们已经证实了幽灵数，所以Dt的共形维数在一般k值时是由k=0的值按照式（5.2.56）决定的：

该式在为超弦理论构建费米子顶点算符时扮演着十分重要的角色。

正如在费米子的描述中一样，应该存在单参数族的能量-动量张量，逻辑上对应于弯曲世界片上与自由场ϕ耦合的单参数族。相关的族是

式中，R(2)是弦世界片的标量曲率。在平直世界片上，式（5.2.92）独立于k。然而，由相对于世界片度规变化的式（5.2.92）推导出能量-动量张量，置度规为ηαβ，可导出依赖于k的能量-动量张量，即式（5.2.90）。

我们正在讨论关于式（5.2.92）阐述的(1+1)-维世界无穷体积上费米子的玻色化。然而，对许多应用来说，主要是研究在圆环上传播的费米子的玻色化。如果在有限的一维世界上，具有限定范围0≤σ≤2π及我们熟悉的周期性边界条件（在本书中，对于闭弦，周期条件取作π；对于开弦，间隔2倍之后周期为2π），研究自由理论式（5.2.92），则具有传统的、我们已经广泛讨论过的正则模表达式：

式中，[p0,]=-i；[，]=nδn+m。注意到p0是幽灵数算符，它将移动一个常数。或许有人要问，费米子在无限体积中或者在圆环上的玻色化是否有什么依据？答案是，宁可要精细和完整的结果。在无限体积中，我们试图定义：

我们必须事先确定，假定的规范序意味着什么。正确的处理方式是

式中，p0具有半整数本征值有一个有趣的“物理”解释，因为p0对零模坐标是正则共轭（于是）的，故p0仅有半整数本征值意味着是角变量，和+2π在物理上是等价的，其具有量子波函数ψ，ψ遵守ψ(+2π)=-ψ()。事实上，模表达式［式（5.2.93）］表明，当我们给增加一个常数时，整个量子场被这个常数改变，所以我们能够用量子波函数表示而不需任何模展开。

这里至关重要的一点是p0取分立值，这比这些值是半整数而不是整数的事实更重要。在有限体积中，可以玻色化一个费米理论，最终得到的玻色场是角变量，以上面的惯例定位在周长为2π的圆周上。事实上，在进行玻色化时不是仅有一对反对易场b++和c+而是有n对这类反对易场，故必须引入n个玻色场ϕa，其中a=1,2,…,n，并且可以将上述情况推广到一般情况下，如同第6章我们将要讨论的。

尽管无关紧要，但是条件中的负号仍然值得评论。负号源于p0要求半整数本征值，可使b++(σ)和c+(σ)遵守幽灵坐标的适当边界条件，即。对于费米场，遵守相反的边界条件，即，在式（5.2.95）和式（5.2.96）中需要p0的整数本征值，这时玻色子的波函数将遵守相反的边界条件，即ψ[ϕ(σ)+2π)=+ψ[ϕ(σ)]。

使圆环上的费米子玻色化会产生一些有趣的结果。按照ϕ+自由场理论，其哈密顿是

式（5.2.97）中已经包括了规范序常数，它是我们研究弦量子化的成果之一。幽灵数是

根据量子统计力学写出这种自由场理论的配分函数：

式（5.2.99）不仅可以计算，而且对计算一般的迹也是很有用的。令q=e-β，则式（5.2.99）可以表达为

若把H和U表达为费米形式而非玻色形式，会发生什么呢？在费米形式中，有

式中，x是未知的正则序常数。如同在式（5.2.30）中，U为

用量子统计的标准方法，由式（5.2.101）和式（5.2.102）可得

对于x的任何值，式（5.2.100）等于式（5.2.103）。若x=1/12，则由于雅可比的一个定理，这些相同的东西就重合了。实际上，雅可比三重积公式为

对于x=1/12，相当于式（5.2.100）等价于式（5.2.103）。

由这项调查得到的另一项有趣的结果如下：如果p0是半整数本征值，则玻色子的哈密顿［式（5.2.97）］等价于关于两个反对易自由度b和c的哈密顿，它们分别遵守周期性边界条件，即。具有半整数本征值p0的式（5.2.97）的基态能量是。于是，两个反对易费米子的规范序常数是1/12。所以，具有周期性边界条件的单一反对易自由度的规范序常数必须是

此外，如果式（5.2.97）中的p0是整数本征值，则式（5.2.97）等价于两个反对易场b和c的理论，二者遵守反周期边界条件，即和。具有整数本征值p0的式（5.2.97）的基态能量是-1/24。所以费米子的规范序常数遵守反周期性边界条件，对每个马约拉纳场是

至于玻色子，由第4章我们知道，规范序常数具有周期性边界条件，即

更一般的边界条件也可以考虑，但是上述这些是本书最需要的情况。