二、货币时间价值的计量

要了解货币时间价值的计量，必须首先明确两个重要概念：终值和现值。终值是指现在一笔货币在未来某一时点的价值，即通常所说的本利和；现值是指未来一笔货币相当于现在的价值。终值和现值都是时点数，它们不仅与货币本身数额大小有关，还与货币用于投资所经历的时间长短及增值率（利率）的高低有关，更重要的是与计算增值的方式（单利或复利）有关。本节我们首先分别介绍在单利和复利两种不同模式下单笔货币终值与现值的计量方法，然后介绍在复利模式下年金终值与现值的计量方法。

（一）单利终值与单利现值

利息的计算有两种模式：单利和复利。前者只计算本金的利息，不计算利息的利息；后者不仅计算本金的利息，而且按照一定的计息周期还要计算利息的利息。

1.单利终值

为了说明在单利模式下终值的计算公式，我们来看下面的例子。

【例2-2】小王将10000元钱存入银行，5年内不动用，目前银行5年期的定期存款基准利率为2.75%。那么5年后小王可获得的本利和是多少呢？

【解答】按照银行的规定，定期存款的本利和只计算本金的利息，不计算利息的利息，那么5年后小王可获得的本利和为

F=10000×（1+5×2.75%）=11375（元）

因此，在单利模式下，利息的计算以本金为基础，利息不再计息，即假设增值是到期时一次取得的。单利终值的一般计算公式为

其利息的计算公式为

式中：P表示现值（本金）；F表示终值；i表示增值率（利率）；I表示增值（利息）；n表示期数。

【例2-3】ABC公司持有一张带息银行承兑汇票，面额为500000元，票面利率为3.6%，6个月到期。请计算该票据到期时的本利和。

【解答】该票据到期时的本利和为

2.单利现值

单利现值是单利终值的相反情况，即未来一笔货币按单利计算相当于现在的价值，其计算方法实际上是单利终值的逆运算。单利现值的计算公式为

【例2-4】张女士欲留一笔钱购买保本型理财产品，希望在3年后取得本利和600000元，用以支付儿子国外上大学的学费。她去A银行咨询得知，3年期保本型理财产品的年化收益率为3.25%，按单利计息。试问：张女士现在应准备多少钱购买此理财产品？

【解答】张女士现在应准备的钱数为

【例2-5】根据例2-3的资料，假设ABC公司将其持有的带息银行承兑汇票在持有2个月以后去银行贴现，银行规定的年贴息率为5.25%。请计算ABC公司贴现该票据能获得的贴现值。

【解答】银行承兑汇票贴现，需要计算被贴现票据在贴现日的现值，根据前面例题的计算，该票据的到期日价值（终值）为509000元，ABC公司持有票据2个月后去贴现，可见该票据从贴现日开始计算，尚有4个月才到期。因此，我们只要计算4个月以后的509000元相当于贴现日的价值。

也就是说，ABC公司持票据去银行贴现，应该可以得到500245.70元的现值。然而，银行实际操作时并不是按上述方法计算贴现值的，而是按照票据到期日价值减去未来一段时期（贴现日至到期日）的贴息后的金额得到票据的贴现值。上述票据的贴现值为

票据贴现值=票据到期价值-票据贴息

=509000-509000×5.25%×（4/12）=500092.50（元）

显然，两种算法的结果不一致。从理论上说，前一种算法是合理的，后一种算法的结果并不是“现值”，因为票据的利息不能按票据未来的到期日价值计算，而只能按照票据现在的价值计算。从这个意义上说，后一种算法是错误的，只是这种算法对银行是有利的。

单利模式下时间价值的计量比较简单，目前银行定期储蓄利息的计算普遍采用单利模式。但这种方式有时显得不太合理，严格地讲，它还没有充分考虑时间价值的作用。

（二）复利终值与复利现值

在复利的方式下，每经过一个利息期，要将所产生的利息加入本金再计利息，逐期滚算，俗称“利滚利”。这里所说的计息期，是指相邻两次计息的时间间隔，如年、季度、月、日等。除非特别指明，复利的计息期一般为1年。

1.复利终值

为了说明复利模式下终值的计算公式，我们来看下面的例子。

【例2-6】小张将10000元钱存入银行，5年内不动用，但小张请银行工作人员开出一年期存单，一年后自动转存，目前一年期的定期存款利率为1.5%。那么5年后小张可获得的本利和是多少呢？

【解答】假如在这5年内银行一年期存款利率保持不变，那么一年后的本利和为

F=P（1+i）=10000×（1+1.5%）=10150（元）

第二年转存的意思是将第一年获得的利息150元加入本金，这时新的本金为10150元，继续存入银行，再按1.5%的利率计算，则第二年末的本利和为

F=10000×（1+1.5%）×（1+1.5%）=10000×（1+1.5%）2=10302.25（元）

同理，3年后的本利和为

F=10000×（1+1.5%）3≈10456.78（元）

这样继续算下去，5年后的本利和为

F=10000×（1+1.5%）5≈10772.84（元）

由例2-6可知，复利终值是指最初的本金加入前期产生的利息形成的新的本金计算的若干期后的本利和。从例2-6的分析可以类推，一般情况下，复利终值的计算公式为

而累计利息的计算公式为

式中，（1+i）n被称为“复利终值系数”，也称为一元终值系数，常用符号“（F/P，i，n）”表示。此时，复利终值公式可以表示为

在实际计算中，对于期限为整数、利率为整数的百分比的复利终值系数可以通过查阅“复利终值系数表”直接获得（见附表）。该表是按照1元本金为基础编制的，列示了不同利率水平i和不同计息期数n的各相应情形的复利终值系数（1+i）n。

【例2-7】某希望工程今获得500万元的捐助，计划通过一段时间的投资，5年后在西部某地区建造一座希望小学。据估计，该款项的年投资收益率为10%，而建造一座希望小学大约需要800万元的资金。请分析该希望工程的目标能否实现。

【解答】通过查复利终值系数表可知，（F/P，10%，5）≈1.6105，那么500万元的捐助资金按复利计算，5年后的本利和为

F=P×（F/P，i，n）≈500×1.6105=805.25（万元）

计算结果表明，按照10%的投资收益率计算，现在的500万元5年后的价值约为805.25万元，超过建造希望小学所需要的资金，所以该希望工程的目标能够实现。

2.复利现值

复利现值是指未来某一特定时间收到或者付出的一笔款项，按一定的利率（财务管理中称为“贴现率”）折算到现在时点的价值。与单利的情况一样，复利现值的计算方法实际上是复利终值的逆运算。显然，复利现值的计算公式为

式中，（1+i）-n被称为“复利现值系数”，也称为一元现值系数，通常用符号“（P/F，i，n）”表示。此时，复利现值公式可以表示为

与复利终值系数一样，对于期限为整数、利率为整数的百分比的复利现值系数也可以通过查阅“复利现值系数表”直接获得（见附表）。

此外，从上面的式子中不难推出，复利现值系数与复利终值系数互为倒数，即

【例2-8】30年前一位老人将100元现金存入银行，假如银行的一年期利率为10%，到期转存，以后每年的利率均为10%。30年后，这位老人留给他子女的财富是多少？如果这笔钱一直存下去，持续300年，而年利率保持不变，那么他的子孙后代可以获得多少钱？

【解答】按10%的年利率复利计算，100元钱30年以后的本利和为

100×（1+10%）30≈1744.94（元）

300年以后的本利和为

100×（1+10%）300=2.617×1014=2.617×106×108≈261.7（万亿元）

大概是中国2020年GDP（101.6万亿元）的2.5倍之多。

可见，在同样利率水平下，时间越久，单利与复利的差异越来越大。

（三）年金的终值与现值

前面介绍的终值和现值都是在某一时点发生的一次性货币收付行为，而在现实经济生活中，更多的是在一定时期内、在相等的时间间隔内发生多次收付的款项，即系列收付款项。该系列收付款项可能是等额的，也可能是不等额的，我们将等额的系列收付款项称为年金，通常记作A。

年金在生活中到处可见，如储蓄中的“零存整取”或“整存零取”、保险费、折旧、租金、等额还贷、养老金、住房按揭贷款等，都涉及年金的问题。

下面我们来回顾一下例2-1，供应商给出了五种付款方式：

（1）采用交款提货方式，一次性支付800万元。

（2）采用分期付款方式，每年支付220万元，连续支付5年，共1100万元。

（3）采用分期付款方式，首付235万元，以后每年支付235万元，连续支付4年（含首付），共940万元。

（4）从采购之日起3年以后首次支付325万元，以后每年支付325万元，连续支付4年，共1300万元。

（5）将该设备作为供应商的投资，以后每年从灌满啤酒股份有限公司获得99万元的投资回报，此行为永久发生。

假设现在公司董事会正在讨论选择何种付款方式的问题，而且对于付款方式有不同的看法。但有一点是基本一致的，那就是公司的年投资回报率应该在12%左右。那么，究竟应该如何选择付款方式呢？

本例中的后四种付款方式都是年金问题。第二种付款方式是每一期期末发生的年金，称为普通年金；第三种付款方式是每一期期初发生的年金，称为即付年金；第四种付款方式是未来（相对于现在来说）发生的年金，称为递延年金；第五种付款方式是永远发生的年金，称为永续年金。下面我们将对各种年金的终值和现值进行讨论。另外，尽管在现实中单利模式下的年金也经常出现，但在财务管理理论中，常用的还是复利模式。因此，为便于说明，后文涉及的年金终值与现值只考虑复利的模式。

1.普通年金

普通年金又称后付年金，是指从第一期开始，每期期末发生等额收付款项的行为。它是最基本和最普遍的年金形式，其终值与现值的计算方法也是计算其他几种年金的基础。

（1）普通年金终值。普通年金终值是每期期末收入或者支出等额现金流的复利终值之和，其计算过程可以通过图2-1加以说明。

图2-1中，第一期发生的年金终值为A（1+i）n-1，第二期发生的年金终值为A（1+i）n-2，…，第n-1期发生的年金终值为A（1+i），第n期发生的年金终值为A。将这n个时点的年金终值全部加总，得到复利的普通年金终值为

式中，称为年金终值系数，记为“（F/A，i，n）”，可通过查阅“年金终值系数表”（附表）求得有关数值。当n＞1时，该系数大于n，它表明：每一期期末连续存入n个A，其本利和是“（F/A，i，n）个A”。这时，普通年金的终值计算公式又可写成

现在我们来看上述例2-1中的第二种付款方式，它是一个普通年金终值问题。这里A=220万元，n=5年，i=12%，（F/A，12%，5）≈6.3528。该年金的终值约为

F_A≈220×6.3528≈1397.62（万元）

计算结果表明，每过一年支付220万元，连续发生5次，按照12%的利率计算，相当于5年后的价值为1397.62万元。也就是说，每年支付220万元，共支付5年，相当于5年后一次支付1397.62万元。

现实中的年金终值问题，有时需要根据终值来计算年金的数额。请看下面的例子。

【例2-9】云元经编有限公司向银行借入一笔1000万元5年期借款，银行规定到期一次还本付息，年利率为9%，按单利计息。为了保证及时足额收回借款本息，银行规定借款人在该银行的存款账户上建立偿债基金，要求公司每年（年末）在存款账户上等额存入一笔基金，使5年后该基金账户的本利和正好能够偿还借款本息。而银行规定这类定期存款的年利率为6%，并按复利计算。那么该公司为5年后偿还借款本息需每年等额存入多少偿债基金？

【解答】首先，计算该笔借款5年后应偿还的本利和金额。按照单利模式计算1000万元本金5年后的终值为

F=1000×（1+5×9%）=1450（万元）

就是说，云元经编有限公司5年后需要向银行偿还本利和1450万元。按照规定，5年后需要偿还的这笔钱，必须由公司每年等额存入银行的偿债基金而产生。这是一个普通年金终值问题，我们需要根据该终值来计算每年存入偿债基金的数额。这里F=1450万元，i=6%，n=5年，要求计算A。

A=1450/（F/A，6%，5）≈1450/5.6371=257.22（万元）

即该公司每年需要存入257.22万元，才能保证公司5年后有1450万元的资金来偿还借款的本息。

通过上述例子，我们可以引出一个与年金终值有关的概念——偿债基金。所谓偿债基金，是指为在未来某一时日偿还一定数额的债务，现在每期所需等额存入的款项，即已知未来的年金终值，倒过来计算年金数额。因此，偿债基金的计算公式为

我们将年金终值系数的倒数称为偿债基金系数，用符号“（A/F，i，n）”表示。因此，式（2-12）可以写成

（2）普通年金现值。普通年金现值，是指每期期末等额收付款项的复利现值之和，其计算过程可以通过图2-2加以说明。

图2-2中，第一期发生的年金现值为A/（1+i），第二期发生的年金现值为A/（1+i）2，…，第n-1期发生的年金现值为A/（1+i）n-1，第n期发生的年金现值为A/（1+i）n。将这n个时点的年金现值全部加总，得到复利的普通年金现值为

式中，称为年金现值系数，记为“（P/A，i，n）”，也可以表示成[1]，可通过查阅“年金现值系数表”（见附表）求得有关数值。这样，式（2-14）又可写成

现在我们来计算例2-1第二种付款方式中，每年支付220万元的普通年金现值。这里A=220万元，n=5年，i=12%，（P/A，12%，5）≈3.6048。该年金的现值约为

P_A≈220×3.6048≈793.06（万元）

计算结果表明，每过一年支付220万元，连续发生5次，按照12%的利率计算，相当于现在一次性支付793.06万元。这个计算结果说明第二种付款方式的现值小于800万元，表明第二种付款方式比第一种付款方式更为节约。

与年金终值一样，现实中的年金现值问题，有时需要根据现值来计算年金的数额。请看下面的例子。

【例2-10】豫光金铅有限公司准备一次性投入1500万元，用于购买生产设备和引进先进技术来制造电解铅，假设公司要求的必要报酬率为10%，而该项目的寿命期为15年。假定15年后该技术与生产设备都被淘汰，将一文不值，且每年回收的投资额相等。请计算每年至少应回收多少投资额，该投资项目对公司才是有利的。

【解答】这是一个年金现值问题。这里P_A=1500万元，i=10%，n=15年，要求计算A。

A=1500/（P/A，10%，15）≈1500/7.6061≈197.21（万元）

计算结果表明，5年中每年197.21万元相当于现在的价值是1500万元，也就是说，该投资项目每年至少要收回197.21万元，才能在10%的报酬率下收回最初1500万元的投资额。

通过上述例子，我们可以引出一个与年金现值有关的概念——投资回收额。所谓投资回收额，是指能达到既定的投资额而要求每年回收的年金数额，它是年金现值的逆运算。因此，由普通年金现值计算公式我们可以直接推导出其计算公式为

相应地，我们将年金现值系数的倒数称为投资回收系数，用符号“（A/P，i，n）”表示。因此，式（2-16）也可以写成

2.即付年金

即付年金又称预付年金或先付年金，是指在每一期的期初发生的年金。它与普通年金的区别在于款项收付时间的起点不同：普通年金的资金收付发生在每期期末，而即付年金的收付发生在期初，两者实质上的差别只是相差一个时期的影响，即1+i倍的影响而已。由此可见，即付年金的终值和现值分别是相同期限、相同利率的普通年金终值和现值的1+i倍。因此，即付年金的终值与现值的计算可分别由普通年金终值与现值的计算公式适当调整得到，即

可分别写成

将式（2-20）式和（2-21）进行适当变换，可以得到下列两个公式：

式（2-21）和式（2-23）给我们提供了一个巧记即付年金终值与现值的方法，那就是：即付年金终值等于普通年金终值的“期数加1，系数减1”；即付年金现值等于普通年金现值的“期数减1，系数加1”。

现在我们来看例2-1中的第三种付款方式，它是一个即付年金终值问题。这里A=235万元，n=4年，i=12%，（F/A，12%，4）≈4.7793。根据式（2-20），该即付年金的终值约为

F_A≈235×4.7793×（1+12%）≈1257.91（万元）

或者根据式（2-22），查（F/A，12%，4+1）≈6.3528，该即付年金的终值约为

F_A≈235×（6.3528-1）≈1257.91（万元）

计算结果与前面相同。

上述计算结果表明，现在起每年支付235万元，4年共支付940万元，相当于4年后一次支付1257.91万元。

我们再来计算例2-1中第三种付款方式的年金现值。这里A=235万元，n=4年，i=12%，（P/A，12%，4）≈3.0373。根据式（2-21），该即付年金的现值约为

P_A≈235×3.0373×（1+12%）≈799.42（万元）

或者根据式（2-23），查（P/A，12%，4-1）≈2.4018，该即付年金的现值约为

P_A≈235×（2.4018+1）≈799.42（万元）

计算结果表明，从现在开始每年支付235万元，连续发生4次，按照12%的利率计算，相当于现在一次支付799.42万元。这个计算结果说明第三种付款方式的现值小于800万元，但大于第二种付款方式的年金现值（793.06万元），表明第三种付款方式优于第一种方式，但不如第二种付款方式。

3.递延年金

递延年金是指在若干期以后的某一期开始连续发生的年金。实际上，递延年金可以在期末发生，也可以在期初发生。图2-3所示是期末发生的递延年金示意图。

图2-3表示第一次支付发生在第m+1期期末，连续支付n次，m表示递延期数，称为“递延m期发生n期的递延年金”。由于递延年金终值的计算是年金向后折算的，因此其终值的计算方式与普通年金的计算方式相同，即

而递延年金现值由于要将年金折算到最初时期，需要跨越递延期限，因此其计算方法与普通年金现值不同，一般有以下三种方式：

（1）先求出递延年金在m+1期期初的现值，再利用复利现值系数将它折现至第一期期初的价值，其计算公式为

（2）先求出m+n期普通年金现值，再减去前面没有发生的前m期普通年金现值，两者之差便是递延m期发生n期的递延年金现值，其计算公式为

（3）先求出n期递延年金的终值，再利用复利现值系数将n期年金的终值折现到m+n期初的现值，其计算公式为

现在我们来看例2-1中的第四种付款方式，它是一个递延年金现值问题。这里m=2，n=4，A=325万元，i=12%。运用式（2-25），（P/A，12%，4）≈3.0373，（P/F，12%，2）≈0.7972。该递延年金的现值约为

P（n）=325×（P/A，12%，4）×（P/F，12%，2）≈325×3.0373×0.7972≈786.93（万元）

根据式（2-26），（P/A，12%，2+4）≈4.1114，（P/A，12%，2）≈1.6901。该即付年金的现值约为

P（n）≈325×4.1114-325×1.6901≈786.92（万元）

再根据式（2-27），（F/A，12%，4）≈4.7793，（P/F，12%，2+4）≈0.5066。该即付年金的现值约为

P（n）≈325×4.7793×0.5066≈786.89（万元）

由此可见，上述计算递延年金现值的三种方法，其计算结果是相同的（结果略有误差属于系数近似计算所致）。

将第四种付款方式的现值与前面三种方式进行比较，不难发现，该付款方式的现值最小，比第一种到第三种付款方式都好。

4.永续年金

永续年金是指无限期等额收付的特种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。由于永续年金是无限期的，其终值为无穷大，因此我们无法计算。但是，我们可以用普通年金的公式来计算永续年金的现值，只要将式（2-14）中的期限n趋向于无穷大即可。因此，我们可以得到永续年金的现值公式为

如果年金在每一期期初发生，那么其现值应当在式（2-28）的右端乘以1+i，或者直接加上A。

在现实生活中，永续年金也经常可见。例如：西方国家发行的无限期债券（永续债），其利息便是一个永续年金；优先股股利通常也是一种永续年金。在证券市场上，投资者也常常用永续年金现值计算公式来估算准备长期持有且股利固定的股票价值，具体见本书第三章第三节相关内容。

现在我们来看例2-1中的第五种付款方式，它是一个永续年金现值问题。这里i=12%，A=99万元，该永续年金的现值为825万元（99/12%）。

现在我们来总结例2-1中关于灌满啤酒股份有限公司大型设备价款的付款方式的选择问题。前面我们已经计算出第二种到第五种付款方式下未来付款额的现值：第二种付款方式约为793.06万元，第三种付款方式约为799.42万元，第四种付款方式约为786.92万元，第五种付款方式为825万元。与第一种付款方式“现在一次性支付800万元”相比较，可见第四种付款方式最合算。当然，这是按照12%的利率计算的结果；如果灌满啤酒股份有限公司董事会要求的年投资回报率高于或低于12%，则上述结论可能会有改变。另外，请读者思考一个问题，在评价各种付款方式的优劣时，为何对各种方案的现值做比较，而不是对它们的终值大小来进行比较？