2.4 逻辑运算和逻辑函数

逻辑运算和逻辑函数在计算机语言中是普遍存在的，在MATLAB中包含与、或、非、异或4种基本的逻辑运算。逻辑表达式和逻辑函数的值应该为逻辑“真”或“假”。MATLAB系统在给出逻辑运算的结果时，以“1”代表“真”，以“0”代表“假”；但在判断一个量是否为“真”时，以“0”代表“假”，以任意的非零数代表“真”。MATLAB的逻辑运算也是以矩阵为基本运算单元的。

2.4.1　逻辑运算

符号“&”“|”“~”“xor”分别代表逻辑运算中的与、或、非、异或，它们作用于数组元素。“0”代表逻辑“假”，而任意非零数代表逻辑“真”。逻辑运算的运算法则如下。

● 在逻辑数组中，“0”代表逻辑“假”，“1”代表逻辑“真”。

● 如果两个标量a和b参与运算，则逻辑运算的运算规则如表2-1所示。

● 如果两个维数相同的矩阵参与运算，则将A和B相同位置上的元素按标量逻辑运算的规则进行计算，结果返回与矩阵A和B同样大小的矩阵，其元素由同位置上的A和B的元素进行逻辑运算的结果所决定。

● 如果标量a和矩阵A参与运算，则将a和A中的所有元素进行逻辑运算，返回结果是由0和1组成的与A具有同样维数的矩阵。

● 在逻辑运算符、关系运算符和计算运算符三者中，逻辑运算符的优先级最低，但是逻辑“非”的优先级最高。

● 在逻辑“与”“或”“非”三者中，“与”的优先级高于“或”的优先级，且都低于“非”的优先级。

● 通过增加“()”可以改变各运算符之间的优先级。

表2-1　逻辑运算的运算规则

例2.14　MATLAB中逻辑运算符的用法。

>> a=[1 2;3 4]
a =
1     2
3     4
>> b=[1 0;0 1]
b =
1     0
0     1
>> a&b             %求逻辑“与”的值
ans =
1     0
0     1
>> a|b             %求逻辑“或”的值
ans =
1     1
1     1
>> ~b              %求逻辑“非”的值
ans =
0     1
1     0
>> xor(a,b)        %求逻辑“异或”的值
ans =
0     1
1     0
>> ~a-1>=1
ans =
0     0
0     0
>> a-1>=1&0
ans =
0     0
0     0
>> ~(a-1>=1)
ans =
1     0
0     0
>> ~a-1
ans =
-1    -1
-1    -1
>> 1|0&0
ans =
1
>> 0&0|1
ans =
1
>> and(a,b)
ans =
1     0
0     1

 在M文件中，可以用and(A,B)、or(A,B)、not(A)分别进行“与”“或”“非”的操作，亦可以在命令行中直接输入，其结果与用“&”“|”“~”运算所得结果相同。

2.4.2　逻辑函数

MATLAB从3.0版本开始提供逻辑函数，这些函数对交互运算和进行矩阵变换非常有用，可以很方便地查找或替换矩阵中满足一定条件的部分或所有元素。只有在使用过程中认真体会每个函数的具体用法，大家才能在实际应用过程中灵活运用。

1．all()函数：判断是否所有元素都为非零数

如果要获得矩阵或向量中非零元素的位置或个数，可以利用all()函数。此函数对于向量a（行向量或列向量），如果向量中的每个元素都是非零数，all(a)返回逻辑“真”，即“1”；如果至少一个元素为零，则返回逻辑“假”，即“0”。对于矩阵A，all(A)是作用于列向量上的，即如果矩阵A的某列的所有元素都是非零数，则返回结果的当前列为逻辑“真”，即“1”；如果至少有一个为零，则返回结果的当前列为逻辑“假”，即“0”。显然，返回结果为与矩阵A具有同列维的行向量。如果A是多维矩阵，则all(A)将是以第1个不是单维的维作为向量进行运算，运算规则同向量运算规则。all(A,dim)将指定的第dim维作为向量进行运算。

例2.15　判断矩阵A=[0 1 2;3 4 5]的所有元素是否都大于或等于1。

>> all(all(A))
ans =
0
>> A>=1
ans =
0     1     1
1     1     1
>> all(A>=1)
ans =
0     1     1

而对矩阵A=[0 1 2;3 4 5]再做一次all()的逻辑运算，便可以得到最终的结果0。

从以上分析不难看出，如果A=[0 1 2;3 4 5]，则all(all(A>=1))=1。

例2.16　举例说明all()函数运算的规则。

>> A=[0 1 2;3 4 5]
A =
0     1     2
3     4     5
>> all(A)
ans =
0     1     1
>> all(A,2)
ans =
0
1
>> c=rand(1,2,3)
c(:,:,1) =
0.8147    0.9058
c(:,:,2) =
0.1270    0.9134
c(:,:,3) =
0.6324    0.0975
>> all(c)
ans(:,:,1) =
1
ans(:,:,2) =
1
ans(:,:,3) =
1

由上例可以看出，三维列向量c进行all()的逻辑运算时，是将第2维作为向量进行计算的，而不是将第1维作为向量进行计算。

　技巧：在M函数中，可以充分利用all()函数的功能，对向量或矩阵进行判断，并根据返回结果做出相应的反应。如下面的一段程序。

if all(all(A>=1))
%存放将要执行的代码
end

2．any()函数：判断是否有一个向量元素为非零数

在矩阵处理中，有时候需要判断矩阵中的元素是否有零或非零数，如在对矩阵进行数组除时，就需要判断作为除数的矩阵是否有零元素，any()函数可以实现这一功能。此函数有3种调用格式：any(a)、any(A)、any(A,dim)。对于向量a（行向量或列向量），如果向量中至少有一个元素为非零数，any(a)返回逻辑“真”，即“1”；而如果所有元素都为零，则返回逻辑“假”，即“0”。对于矩阵A，any(A)与all(A)一样，也是作用于列向量上的，即如果矩阵A的某列中存在某个元素为非零数，则返回结果的当前列为逻辑“真”，即“1”；如果所有元素都为零，则返回结果的当前列为逻辑“假”，即“0”。如果A是多维矩阵，则any(A)将第1个不是单维的维作为向量进行运算，运算规则同向量运算规则。any(A,dim)将指定的第dim维作为向量进行计算。

例2.17　举例说明any()函数运算的规则。

>> A=[0 1 2;0 3 4]
A =
0     1     2
0     3     4
>> any(A)
ans =
0     1     1
>> any(A,2)
ans =
1
1

any()函数的其余规则与all()函数基本相同，在此不赘述。

3．exist()函数：查看变量或函数是否存在

在MATLAB程序设计中，有时候需要知道变量是否已经被定义过，即是否存在于当前内存中，有时候还需要详细了解变量的类型，这时exist()函数就显得非常有用。a=exist('A')返回变量或者函数的状态或类型，a值和A对应的状态或类型如表2-2所示。

表2-2　exist()函数中a值与A对应的状态或类型

如果A存在于MATLAB的搜索路径下，但并不是MATLAB可以识别的非M文件，即非MDL文件、MEX文件时，exist('A')或exist('A.ext')将返回2。

 在exist('A')中，A可以是当前路径下的子目录或相对路径。

如MATLAB的当前路径为D:\Program Files\MATLAB，则输入exist('bin')便会得到如下内容。

>> exist('bin')
ans =
7

当然也可以检验计算机上的任意一条路径，但必须要输入全部路径。

如下面一段程序。

>> exist('D:\Program Files\MATLAB')
ans =
7

findall.p是toolbox\matlab目录下的一个P文件，输入如下。

>> exist('findall')
ans =
6
>> exist('sin')
ans =
5

flag=exist('A',kind)，如果MATLAB找到指定类型kind下的对象A的话，此语句返回逻辑“真”，即flag值为“1”，否则返回逻辑“假”，flag值为“0”。其中，kind参数的取值如下。

● exist('A','var')：仅检查工作空间中的变量。

● exist('A','builtin')：仅检查MATLAB的内置函数。

● exist('A','file')：检查MATLAB搜索路径下的文件和路径。

● exist('A','dir')：仅检查路径。

如下面一段程序。

>> exist('a','var')           %在工作空间的变量中查找变量a
ans =
0                        %表明没有找到名为“a”的变量
>> exist('A','var')           %在工作空间的变量中查找变量A
ans =
1                        %表明找到名为“A”的变量
>> exist('A','builtin')       %在内置函数中查找函数A
ans =
0                        %表明没有找到名为“A”的函数

4．find()函数：找出向量或矩阵中非零元素的位置标识

在许多情况下，都需要对矩阵中符合某一特定条件的元素的位置进行定位，如将某一矩阵中为零的元素设为1等。如果这个矩阵的元素非常多，手工修改就非常麻烦，而灵活运用find()函数和各种逻辑及关系运算可以实现绝大多数条件下的元素定位。find()函数的基本用法有 k=find(A)、[i,j]=find(A)、[i,j,v]=find(A)，它是一个很有用的逻辑函数，在对数组元素进行查找、替换和修改变化等操作中占有非常重要的地位，熟练运用该函数可以方便而灵活地对数组进行操作。

k=find(A)：此函数返回由矩阵A的所有非零元素的位置标识组成的向量。如果没有非零元素则会返回空值。

例2.18　举例说明find()函数的运算规则。

>> a=[0 1;2 3;0 4]
a =
0     1
2     3
0     4
>> find(a)         %查找a中的非零元素
ans =              %结果显示元素的位置标识是按列进行的，即从1开始
2             %数完第1列再数第2列，依次数下去
4
5
6
>> b(:,:,1)=[0 0;1 2]
b =
0     0
1     2
>> b(:,:,2)=[3 4;5 6]
b(:,:,1) =
0     0
1     2
b(:,:,2) =
3     4
5     6
>> find(b)
ans =
2
4
5
6
7
8

从以上内容不难看出，多维数组的元素位置标识是从低维到高维依次进位的，如对于一个三维数组b，它的元素b(1,1,1)、b(2,1,1)、b(1,2,1)、b(2,2,1)、b(1,1,2)、b(2,1,2)、b(1,2,2)、b(2,2,2)的位置标识依次为1、2、3、4、5、6、7、8。

[i,j]=find(A)：此函数返回矩阵A的非零元素的行和列的位置标识，其中i代表行标，而j代表列标。此函数经常用在稀疏矩阵中。在多维矩阵中通常将第1维用i表示，将其余各维作为第2维，用j表示。如对于上面的三维数组b，有如下程序。

>> [i,j]=find(b)
i =
2
2
1
2
1
2
j =
1
2
3
3
4
4

[i,j,v]=find(A)：此函数返回矩阵A的非零元素的行和列的位置标识，其中i代表行标，而j代表列标，同时，将相应的非零元素的值放于列向量v中，即i和j的值与[i,j]=find(A)取值相同，只是增加了非零元素的值这一项，如下面一段程序。

>> [i,j,v]=find(b)
i =
2
2
1
2
1
2
j =
1
2
3
3
4
4
v =
1
2
3
5
4
6
>> a=[-1 -2;-3 -4]
a =
-1    -2
-3    -4
>> find(a<-3)            %找出a中小于-3的元素的位置
ans =
4
>> find(a<-2)            %找出a中小于-2的元素的位置
ans =
2
4
>> find(a==-1)           %找出a中等于-1的元素的位置
ans =
1
>> a(find(a==-4))=-5     %找出a中等于-4的元素并将其换为-5
a =
-1    -2
-3    -5

利用find()函数可以实现部分矩阵的替换。

例2.19　利用find()函数实现部分矩阵的替换。

>> b=[3 4;5 6]
b =
3     4
5     6
>> a(find(a==-3))=b(find(a==-3))       %将矩阵a中等于-3的元素换为矩阵b中相应位置上的元素
a =
-1    -2
5    -5                           %原来的-3被替换为5
>> a(find(a==-5))=[]                   %将矩阵a中等于-5的元素删除
a =
-1     5    -2

　技巧：在矩阵运算中通常可以采用这种方法进行矩阵删除，即将矩阵的某个或某行元素直接赋值为零。

如果要删除矩阵b中的第2行，可以用如下方法实现。

>> b(2,:)=[]
b =
3     4

上面“()”中的“:”为操作符，代表矩阵b中第2行的所有元素。

5．isfinite()函数：确认矩阵元素是否为有限值

isfinite(A)：如果矩阵A中的元素为有限值，则此函数在返回矩阵的相应位置上输出1，否则输出0。有限值为具有确定值的数，而NaN、+Inf、-Inf等都被视为无限值。isinf(A)用于判断矩阵A的元素是否为无限值，用法与isfinite()函数相同。

 NaN称为不确定值，通常由0/0、Inf±Inf、Inf/Inf及NaN与其他任何数进行运算得到；Inf称为无穷大数，可以由任意非零实数除以零得到，而复数除以零会得到NaN数。

例2.20　isfinite()函数的用法。

>> c=[1 2;3 4]
c =
1     2
3     4
>> isfinite(c)
ans =
1     1
1     1
>> d=[1 +inf;nan -inf]
d =
1   Inf
NaN  -Inf
>> isfinite(d)
ans =
1     0
0     0
>> isinf(d)
ans =
0     1
0     1

6．isempty()函数：确认矩阵是否为空矩阵

不要把空矩阵、零矩阵及矩阵不存在3个概念混淆。空矩阵说明矩阵存在，但是矩阵没有元素；零矩阵是指矩阵的所有元素都为零；矩阵不存在是指当前的工作空间中没有定义此矩阵变量。isempty(A)可以判断一个存在的矩阵变量A是否为空矩阵，如果矩阵变量A为空矩阵则返回逻辑“真”，否则返回逻辑“假”。零矩阵至少有一维是零，如0×0、0×5、0×3×3等。零矩阵没有任何元素，可以用函数size(A)来判断，如果其中有一维为零，则A就是零矩阵。

例2.21　isempty()函数的用法。

>> a=[]
a =
[]
>> size(a)
ans =
0     0
>> b=rand(3,3,3);
>> b(:,:,:)=[]
b =
Empty array: 0-by-3-by-3
>> size(b)
ans =
0     3     3

 b是0×3×3维矩阵，因而a是零矩阵。

>> isempty(b)
ans =
1

7．isequal()函数：判断对象是否相等

isequal(A,B,C…)：如果要判断的所有对象A,B,C…具有相同的类型、大小和内容，对于矩阵来说，就是所有矩阵的维数相同，而且矩阵元素的数值相同。如果满足这样的条件，此函数返回逻辑“真”；反之，只要有一个对象与其他对象不相同，就会返回逻辑“假”。

例2.22　isequal()函数的用法。

>> a=[1 2]
a =
1     2
>> b=[1 2]
b =
1     2
>> c='hello world'
c =
hello world
>> d=[1;2]
d =
1
2
>> isequal(a,d)
ans =
0
>> isequal(a,b)
ans =
1
>> isequal(a,b,c)
ans =
0

8．isnumeric()函数：判断对象是不是数据

isnumeric(A)：如果A是数据矩阵，如稀疏矩阵、双精度矩阵、复数矩阵等，此函数返回逻辑“真”；反之，如果A是字符串、结构体矩阵等，则返回逻辑“假”。

例2.23　isnumeric()函数的用法。

>> isnumeric(a)
ans =
1
>> isnumeric(c)
ans =
0
>> e=[1+2i 3+4i]
e =
1.0000 + 2.0000i   3.0000 + 4.0000i
>> isnumeric(e)
ans =
1

还有一些逻辑函数也比较常用，为了保持完整性，将其部分列出，以供参考。

issparse()：判断是否为稀疏矩阵。

isstr()：判断是否为字符串。

islogical()：判断是否为逻辑矩阵。

isfield()：判断对象是否为某个结构体矩阵的域。

isstruct()：判断是否为结构体。

ishandle()：判断是否为图像句柄。