不要随便下断语（歪理两条）

法国的数学家笛卡儿曾经说：“天下的事理，非见到极明白，决不要随便就下断语。”

这一句名言告诉我们在推断事理的时候，应当十二分地小心，不要凭着主观，自己觉得这样，就以为一定是这样。这种主观的判断，没有客观的真凭实据，只好算是武断，其结果一定要陷入错误。

这样空泛地说，也许不容易明白，现在来就几何方面举两个有趣的例子吧。几何学的论证都是有客观的根据的，当我们证明一个问题的时候，每一句话都应当有确实可靠的理由。假如我们凭了主观“想当然耳”的作出结论来，就一定要弄得谬误百出的。下面两个命题的证明，粗看好像都“言之成理”，可是只要仔细推敲一下，就不难看出它们都是不能成立的“歪理”。

〔命题一〕直线的全长等于它的一部分。

设AB是一直线，拿AB做边作△ABC（使∠A为锐角），又作CD⊥AB，作CE，使∠ACE=∠CB，于是因∠A=∠A，得

△ABC∽△ACE(α.α.=α.α.)

这就是证明了直线AB的全长等于它的一部分AE。然而几何公理中明明有“全量大于部分”的一条，况且在事实上AB比它的一部分AE长，连三岁的小孩子都知道的，那么上举的证明究竟错误在哪里呢？

细考上述证明的各步，似乎都有定理或公理可以根据，是无法驳倒的；其实第二步应用的除法公理在代数学中明明有一个限制，忽略了这点，就犯了随便下断语的毛病。兹订正如下：

由定理“相似三角形的对应边成比例”，知道

AB:AC=AC:AE

化等积式，得

移项，得

于是在前举证明中的末第三步应是0/AB=0/AE，决不能化为1/AB=1/AE，即末第二步以除两边，实际是用了0除两边，根本是不合理的，换句话说，因为0被任何数除，商总是0，总能相等，所以虽得0/AB=0/AE，但不能决定AB=AE。说得更简单些，因 0/3和0/5都等于0，故0/3=0/5，但3≠5，是谁都知道的。

〔命题二〕凡三角形都有二角相等。

设△ABC，作∠A的平分线AO，BC的垂直平分线DO，二线相交于O。从O作OE⊥AC，OF⊥AB。连OB，OC。

∵OB=OC（线段的垂直平分线上的点，与线段的两端等距），OF=OE（角的平分线上的点，与角的二边等距），

∠BFO=∠CEO（由作图，垂线间的角是直角）

∴△BFO≌△CEO(s.s.rt.∠=s.s.rt.∠)，

∠OBF=∠OCE(（全同三角形的对应角相等）。

又∵ ∠OBC=∠OCB（由OB=OC，等腰△底角相等），

∴ ∠OBF+∠OBC=∠OCE+∠OCB（等量加等量，和相等）。

即∠ABC=∠ACB（部分的和等于全量，代入）。

这△ABC原是任意的三角形，现在证得∠ABC=∠ACB，根据“三角形等角必对等边”的定理，已变成了一只等腰三角形，不又是一件奇怪的事吗？其实这又是武断。客观地想，决不是这样的。

我们这样想：若AB=AC，则由定理“等腰三角形的顶角平分线必垂直于底边，且平分底边”知道∠A的平分线和BC的垂直平分线必合成一直线，不能说相交于O。若AB≠AC，我们作△ABC的外接圆，取⌒BC的中点O，联AO，则AO平分∠A（等弧对等圆周角），即∠A的平分线过的中点O。又因BC的垂直平分线也过O（弦的垂直平分线平分其对弧），所以这二直线相交于O，且O是△ABC的外接圆⌒BC上的中点，必永远在△ABC的外面，再设AB>AC，则⌒AB＞⌒AC（大弦对大弧），但⌒BO=⌒CO，相加得⌒ABO＞⌒ACO，所以⌒ABO﹥180°﹥⌒ACO（因这两弧的和是360°﹤⌒ACO﹥90°﹥∠ABO），（圆周角以所对弧之半来度它），垂足E在AC的延长线上，垂足F在AB边上（否则一个三角形内含一直角和一钝角，是不合理的）。同理，AB﹤AC时，垂足E在AC边上，垂足F在AB的延长线上*。[　　*这一段的原文，前在进步青年刊出，证O点在△ABC外所用的方法，不免呆笨费力，且对二垂足E和F的一在边上和一在边的延长线上未述理由，承蒙河南偃师县立一中王蕴山同志指出，特根据王同志的意见加以修正，并在这里附致谢意。]*。

综上所述，前举图形中的O在三角形内，且二垂足都在边上，这是错误的。在准确的图中，O在三角形外，垂足E和F，一在边上，一在边的延长线上。故知以前证得的：

∠OBF=∠OCE …　 （1），

∠OBC=∠OCB …　 （2），

虽丝毫无误，但由此决不能得到

∠ABC=∠ACB… （3）。

为什么呢？因为（3）的左边是（1）（2）两式左边的差，但（3）的右边却不是（1）（2）两式右边的差（这是时的情形，若AB﹤AC，则左右相反），所以从（1）（2）两式不能根据等量公理而得（3）式，前举的证明当然是完全错误了。