玛雅的零

我无话可说，
但又在说无，
而那是诗。19

——约翰·凯奇

位置计数系统的第三次发展发生在存在于约公元 500 年直到 925 年的引人注目的玛雅文化里。反常的是，尽管玛雅人在建筑、雕刻、艺术、道路建设、写作、数值计算、历法体系以及预测天文学方面取得了巨大成就，但他们却从未发明车轮，从未发现金属或玻璃，没有可测量小于 1 天的时间间隔的钟，也从未使用过驮载的牲畜。石器时代的经验与非凡的先进算术技术结合在了一起。为什么他们的文化如此突然地终结了？答案至今仍是个谜。遗留下来的只是在现今墨西哥、伯利兹、洪都拉斯和危地马拉的丛林和草原中被废弃的城市。人们曾提出过各种各样的灾难，以解释全体居民的离去，也曾把一切归咎于瘟疫、内战或地震。一个更为可靠的见解则是由于他们的土壤在持久地精耕细作和过度使用之后所引起的农业资源枯竭。

玛雅计数系统建立在以 20 为基数的基础之上，且其数字由点（每一点表示 1）和棒（每条棒表示 5）组合而成。前 19 个数字用点和线以简单的加法形式组成，这很可能是从一个更早的手指和脚趾计数系统派生出来的。20用点（有时为一个小圆）的符号表示 1 的现象在古代中美洲整个地区都能发现，而且很可能与当时使用可可豆作为货币单位有联系。与在巴比伦文化里一样，日常计算和数学家、天文学家的较高深计算有区别（图 1-17）。

图 1-17　神职人员和天文学家所使用的玛雅计数系统里从 1 到 20 的数

当书写大于 20 的数时，人们就创造了一个由符号组成的塔：其底层表示 1 的倍数，第二层是 20 的倍数。然而，第三层并不解释成 20 × 20 的倍数。它包含着 360 的倍数！但此后，这种模式不断继续下去。因此，往上一层记 7200（= 20 × 360），再上一层记 144 000（= 20 × 7200），并且随后接续的每一层是前一层的 20 倍。数字是从上往下读的。数 4032[ = (11 × 360) + (3 × 20) + 12] 的写法如图 1-18 所示。

图 1-18　数 4032 的玛雅表示法

因此我们看到玛雅人拥有一个位置或位值系统，而且他们把一个表示零的符号加在其上，以表示数字塔的某一层无输入。他们所使用的符号是很奇妙的。它像一枚贝壳，甚至像一只眼睛，以许多稍微不同的形态出现，而且似乎传达了填空的想法，反映了它在表示数字中的审美作用。某些零的形状如图 1-19 所示。

图 1-19　表示玛雅人的零的各种不同符号形态。9它们看上去好像蜗牛和海洋生物的壳或人的眼睛

于是数 400 = (1 × 360) + (2 × 20) + 0 应写成如图 1-20 所示。

图 1-20　400 的玛雅表示法

玛雅人不但在数符串的中间位置使用他们的零符号，而且在最后位置上也使用，正如我们所做的一样。

玛雅计数系统里奇妙的步骤在于第三层以 360 而不是 400 表示，后者本是一个纯粹以 20 为基数的计数系统的特征。这意味着在一个非常重要的方面，玛雅人的零符号不同于我们的。要是我们把一个零符号加到任何数的右端，那么就是把这个数值乘上了 10——我们的计数系统的基数，因此 170 = 17 × 10。要是一个具有任意基数的计数系统，其每个级位与前一个级位以基数的一次幂相关联，而无论这个基数的数值是多少，那么把一个零加到数符串，则始终会产生该数被基数值相乘的效应。玛雅计数系统缺乏这种优良特性，因为其数符塔各层的基数并不完全相同。它阻碍了玛雅人充分地利用他们的计数系统。

玛雅人之所以没有引入一个均匀一致的数符层序列，是由于他们的计数系统还有别的功能。它有一个特殊作用，即记录他们精心制定的周期循环的历法。他们有 3 种历法：第一种以 260 天的宗教周期为基础，叫作卓尔金（tzolkin），它分成 20 个 13 天的周期；第二种历法是一个 365 天的民用“年”，叫作太阳历（haab），它分成 18 个 20 天的周期再加上一个 5 天的过渡期；第三种历法则以 360 天一个周期为基础，这个周期叫作顿（tun），它分成 18 个 20 天的周期。20 顿等于 1 卡顿（katun，ka 是表示 20 的词）；20 卡顿等于 1 白克顿（baktun，bak 是表示 20 × 20 的词）；1 乌纳尔（uinal）等于 20 天。21这些周期用特殊的象形文字表示。于是表示一个时间周期的完整图像便是把表示时间间隔的这些符号与那些表示是它们的多少倍的符号组合在一起。图 1-21 中的象形文字应从左到右和从上向下读，它记载了下列时间：9 白克顿、14 卡顿、12 顿、4 乌纳尔和 17 金（kin，即天）。

图 1-21　表示一段时间的玛雅象形文字。每一个时间单位——白克顿、卡顿、乌纳尔和天——用一个特殊的图像表示，通常是具有明确特征或装束的头像。在每个图像的旁边是一个数，由点和棒组成，表明应取多少个这些单位。有时表示的是较小的数，只需两点或两根棒，此时便另加别的装饰品以使所占空间保持匀称。在此，从左到右和从上向下读，我们得到 9 白克顿 14 卡顿 12 顿 4 乌纳尔 17 金的表示图。它总计给出 3892 顿 97 金，即 1 401 217 金（天）

在这些象形文字里，零用许多奇异的图像表示22，其中一些如图 1-22 所示。

图 1-22　在玛雅的圆柱和雕像上发现的表示零的各种象形文字

在这一方案里，零符号对记载日期而言并不是必需的。玛雅的零的新奇性在于，它的引进只是出于审美的原因。假如没有零的图像，表示日期的象形文字就会有空白的斑点，因而看上去便不匀称了。精心制作的零的图像填充了空隙，从而创造了一种引人注目的表现日期的手法。它强化了所表示的那些数的宗教意义。