1.1.2 标量及矢量位函数表示的电磁场方程

求解麦克斯韦方程组定解问题（由控制方程及边界条件等构成）时，为避免直接求解分量存在间断的电磁场矢量场，以及方便施加边界条件等，通常引入标量或矢量位函数（势函数）作为辅助变量，如标量电位φ、标量磁位φ_m及矢量磁位，从而将求解麦克斯韦方程的一阶偏微分方程组化成以位函数为变量的二阶偏微分方程或方程组，从而减少未知数的总维数，达到简化计算的目的[9]，同时方便采用经典有限元方法进行数值求解[7]。但是采用位函数作为求解工作变量，可能导致位函数解不唯一的问题；另外要计算实际的电磁场量，需要对位函数进行一阶空间求导运算，这将导致一定精度的损失。然而，由于实际电气工程问题的高度复杂性，基于电位和磁位的计算格式及有限元方法因其具有稳定性、方便性以及能够满足工程精度需求，故在中低频电磁场计算中得到了广泛应用。

（1）静电场与恒定电场 静电场、电源以外区域的恒定电场均为无旋场，可通过引入标量电位φ来求解。电场强度与标量电位φ的关系为

由此可推导得到用标量电位φ表示的静电场与恒定电场方程。对于空间存在自由电荷的静电场，标量电位φ满足泊松方程，即

对于空间中无自由电荷的静电场及电源以外区域的恒定电场，标量电位φ满足拉普拉斯方程，即

（2）静磁场 对于静磁场问题，在电流密度为零的区域中，可引入标量磁位φ_m，即由，定义

代入到式（1-4），则静磁场问题无电流区域中标量磁位φ_m应满足变系数拉普拉斯方程

对于有电流存在的区域，此时静磁场为有旋场，不能只靠引入标量磁位化简方程。此时，可利用矢量磁位（其旋度等于磁通密度）进行方程的简化，此外当规定的散度为0（库仑规范）时，磁位满足矢量泊松方程，即

一般情况下，由于铁磁材料磁导率的非线性、空气与铁磁材料界面处的磁导率跳跃及铁磁物体的棱角区域具有几何奇性，所以界面处的磁位并不光滑，仅仅具有切向分量的连续性，就需要求解如下双旋度方程：

式中，磁阻率ν是磁导率μ的倒数；是给定的导体中的恒定电流分布。如果导体由细导线绕制形成（通常称为stranded conductor），则在导体横截面均匀分布。如果是单个实体导体（即solid conductor），那么的分布可以通过求解恒定电场问题而得到。

（3）时谐电/磁场 对于激励源做时谐变化的交流稳态线性电磁场计算问题，用复相量法表示时变场量将省去时间步进的瞬态场计算，只需要求解一次复数代数方程组即可。非理想介质中的时谐电场满足以标量电位表示的复数形式的拉普拉斯方程

如果求解区域内存在实体导体及线圈激励，则在线圈产生的交变磁场的作用下，实体导体将被动产生感应涡流（此时的电磁场也叫作频域涡流场），以表示的涡流场控制方程为

对于时谐全波电磁场，满足以表示的电磁波方程组

注意，这组控制方程在高频电磁波问题中并不常用，主要是因为高频波动问题中的导体一般看作理想电导体或完美电导体（Perfect Electric Conductor，PEC），其内部不存在电磁场，表面的电场仅存在法向分量。同时为方便施加入射波等激励源，因此更多的是采用以为变量导出的二阶矢量波动方程[8]。

（4）瞬态电磁场 在分析电气设备非正弦瞬态激励时的电磁场分布时，需要采用瞬态电磁场求解。此外即使激励源呈正弦变化，但求解区域含有非线性材料时，严格来说此时的电磁场分布也是非正弦的，因此在高压电力装备、电机、变压器等低频设备仿真中，瞬态磁场分析的应用很广泛。

在高电压电力装备绝缘分析计算领域，为了分析绝缘介质中的瞬态电场分布，往往可以忽略介质中的磁场能量，采用拟静态电场来建立近似模型。与频域交流电场相对应，时域瞬态电场满足以下方程：

在电气设备、电力传输和生物医学等领域的电磁分析中，一般结构的尺寸远远小于最小工作波长，即为电小尺寸问题。此时可以忽略电磁波动效应，即麦克斯韦方程式（1-1）右端的两项中，位移电流密度与传导电流密度相比可以忽略不计，这类电磁场通常称为拟静态磁场（或者称为时域涡流场）。与频域涡流场相对应，以表示的时域涡流场满足以下方程组：

与交变全波电磁场的频域方程组相对应，瞬态全波电磁场满足的控制方程组为

该方程可以用于研究电磁波的辐射问题，其中此时由于激励频率为高频且电磁结构为电大尺寸，故良导体内的电磁场一般不考虑，其边界近似为PEC边界。根据本章参考文献[10]，式（1-28）的计算格式在实际工程应用中存在低频崩溃等问题，因此需要对其进行改进，比如在电小尺寸问题的分析中忽略的二阶时间导数所表示的波动项，只考虑无旋电场分量时变所产生的磁场，即Darwin模型。本书主要关注低频电磁场有限元数值方法及FreeFEM编程实现，所涉及的内容及编程案例对于高频电磁波问题的算法编程也具有指导意义（比如高频电磁波分析时的未知量与低频时的一样可以采用棱单元基函数离散，同时也都涉及双旋度算子的离散等）。