1.2.5 子代数与代数的同构
定义1.7 设
为定义在非空集合
上的运算,
为一代数系统.
且非空,若
也构成一个代数系统,且运算
保持在中的所有性质,称
为的一个子代数系统,简称为子代数.
例1.16 
是
的子群,
是
的子域,是
的子域. 但
是的子环而不是的子域,因为数乘法 “.” 在
中不具有在
中的逆元律. 由于集合的包含关系
具有传递性,因此子代数的关系也有传递性. 如也是的子域.
由定义1.7及例1.15可知,且非空,要判断是否为代数系统的子代数,需同时考察两个条件
(1) 运算
对子集是封闭的;
(2) 在子集中,运算保持在中的所有性质. 然而, 对线性代数 (线性空间) 而言, 有如下定理.
定理1.1 设
为数域
上的一个线性代数,且非空,
为的一个子线性代数 (子线性空间) 的充分必要条件是加法 “+” 和数乘法 “.”对是封闭的.
证明 条件的必要性不证自明, 下面证明充分性. 由运算的封闭性可知, 加法 “+” 的交换律、结合律,数乘法 “.” 的结合律及对加法的分配律在中都是保持的. 由于是数域,因此
. 又由于数乘法 “.” 对是封闭的,因此
,即含有零元. 另外,
,必有
,有
使得
,即
在中有负元. 如此,
构成交换群,加之数乘法所满足的所有性质可知是一个线性代数 (线性空间),故它为的一个子线性代数 (子线性空间).
例1.17 由例1.15知,区间
上的实值可积函数全体
对函数的加法“+”和实数与函数的数乘法 “.” 构成线性代数 (线性空间)(
. 记区间上的实值连续函数全体为
,则
且非空[6]. 根据高等数学知识[7],实值连续函数对函数的加法和实数与函数的数乘法是封闭的. 根据定理1.1,
是
的一个子线性代数 (子线性空间).
[6] 见参考文献 [1] 第295页定理2后目1.
[7] 见参考文献 [1] 第119页定理1.
定义1.8 设两个代数系统
和
均具有
个
元运算
和
. 若存在到的“1-1” 映射
,使得对每一对运算和
,有
即下中原像的运算结果对应中像的运算结果. 称与同构.称为与之间的同构映射.
例1.18 考虑例1.7中模4的剩余类加群
以及代数系统
,其中
. 两者的加法运算表为
不难验证也是一个交换群. 建立
与的“1-1” 映射为
则的加法运算表等价于
即下中原像的运算结果对应中像的运算结果. 所以,与同构.
以代数学的观点, 同构的代数系统被视为等同的, 只需研究其中之一, 研究结果适用于所有与之同构的代数系统.