1．如何研究问题

为了帮助学习者更好地理解和掌握数学发现的逻辑（证明与反驳的方法），戴维斯与赫尔胥就曾设计了这样的教学实例：

行动I

原始猜想1：“如果一个数的最后一位数字是2，它可以被2整除.”

例子：42与172显然都是这样的例子.

证明：一个数是偶数，当且仅当它的最后一位数字是0，2，4，6，8，所有的偶数都可以被2整除，特殊地，最后一位数字是2的数可以被2整除.

证明（更为精致地）：如果一个数在十进位中是，那么，它就有形式+2，进而10Q+2=2（5Q+1）

猜想2：“如果一个数的最后一位是N，它可以被N整除.”

评论：这一步十分大胆并做出了明显的一般化，即使它被证明是假的，天也不会因此而塌下来.

例子：如果一个数的最后一位数字是5，它可以被5整除，这是无可置疑的，如15，25，128095等等.

反例：如果一个数的最后一位数字是4，它能被4整除吗？14被4整除吗？糟了！

反驳：但有些以4结尾的数可以被4整除，如24.某些以数字9结尾的数可以被9整除，如99.

经验的概括：看来数字1，2，…，9分成了两大类：第一类是指这样的数字N，以N结尾的数可以被N整除；第二类是指这样的数字N，以N结尾的数并不总能被N整除.

第一类：1，2，5；

第二类：3，4，6，7，8，9.

问题：应当怎样看待以0结尾的数？它们能被0整除吗？不能，但是它们能被10整除，看来我们应当注意这一情况，这一情形不能被表述成原始的猜想的形式.

定义：让我们把第一类数称为“魔数”.它们具有令人高兴的性质.

暂时性的定理：1，2和5是魔数，它们并不是仅有的魔数.

反例：我们应当怎样去看待25呢？它是魔数吗？如果一个数是以25结尾的，它可以被25整除.

例如，225，625.

反驳：我想我们讨论的是一位数.

回答：就算是这样，但25的情形很有趣，让我们把原来的研究拓宽一些.

重新表述：现在N未必表示一位数，而也可以是像23，41，505这样的数字的组合.称N为魔数，如果以数字组N结尾的数可以被N整除，这样的推广合适吗？

回答：可以.

例子：25是魔数，10是魔数，20是，30也是.

反例：30不是，130不能被30整除.想一想：你是怎样知道25是一个魔数的？

定理1 25是一个魔数.

证明：如果一个数是以25结尾的，它有形式abc…e25=abc…e00+25，进而有100Q+25=25（4Q+1）.

目标的重新表述：找出所有的魔数.

经验的积累：1，2，5，10，25，50，100，250，500，1000等都是魔数.

观察：我们重新找到的魔数看来都是2和5的乘积，上面所列举的数显然都是这样的情况.

猜测：所有具有以下形式的数N都是魔数：N=2p·5q，其中p≥0，q≥0且p，q是整数.

评论：这一猜测看来是合理的，还有没有什么问题？

反例：取p=3，q=1，就有N=23×5=40.以40结尾的数总能被40整除吗？不！例如，140.

重新表述：那么反面的论题怎么样？所有我们发现的魔数都具有形式2p·5q，也许所有的魔数都具有这样的形式？

反驳：这是您刚才所提出的论题吗？

回答：不！刚才提出的反面的论题：具有形如2p·5q的数是魔数.你看到两者的不同了吗？

定理2 如果N是一个魔数，则有N=2p·5q且p，q是整数.

证明：假设任一以N结尾的数，它具有形式.我们希望能像先前那样把这一个数分割开来.为此，设N有d（N）数位，从而数事实上就等于，其中在结尾处共有d（N）个0，亦即有形式Q·10d（N）+N[就d（N）=2，3等的情况试一下].所有以N结尾的数都具有这样的形式.反过来，不管Q是什么数，数Q·10d（N）+N总是以N结尾的.现在，如果N是魔数，它就能整除Q·10d（N）+N.由于N能整除N，因此对任意的Q来说，N总能整除Q· 10d（N），例如，Q可以是最简单的数1，因此N必须能整除10d（N）.由于10d（N）=2d（N）·5d（N）是一个质因数分解式，因此，N本身就必定可以分解成若干个2和5的乘积.

新的立场：我们现在已经知道任一魔数必有形式N=2p·5q，其中p≥0，q≥0，我们希望能将它反过来，这样我们就将获得关于魔数的一个充分必要条件.

经验的重新审视：由于我们已经知道任一魔数都具有形式N=2p·5q，现在问题就是：p，q应满足什么条件才能使N成为魔数？

猜测：p＜q？

反例：p=0，q=4，N=20×54=625，625是否是魔数？不，例如1625不能被625所整除.

猜测：p=q？

反驳：这时N=2p·5p=10p，即1，10，100，…，这些数确实是魔数，但还有其他魔数.

猜测：p＞q？

反例：p=3，q=1，N=23×51=40，这不是魔数.

观察：在此需要更深入地研究，行动I到此结束.对于那些具有足够兴趣和毅力的人，这一过程将继续下去.

行动Ⅱ

（在这一行动中，启发性的成分将写得十分简练）

策略的讨论：让我们回到关于形式N=2p·5q的必要性的证明，我们发现如果N是魔数，则它能整除10d（N）.我们在此是用d（N）代表N的数位.也许这就是一个充分条件？哈哈，一个突破？

定理3 N是魔数当且仅当它能整除10d（N）.

证明：必要性已经得到了证明.如果一个数以N结尾，那么，正如我们所知道的，它具有形式Q·10d（N）+N.由于N整除N，而由假设N又能整除10d（N），从而它确实可以整除Q·10d（N）+N.

美学的反驳：我们的确获得了关于魔数的一个充分必要条件，但这一条件是关于d（N）的，应当是关于N的或关于N的质因数分解式2p·5q的（更具体）.

讨论：什么时候N=2p·5q能够整除10d（N）？由于10d（N）=2d（N）·5d（N），从而其充分必要条件就是p≤d（N），q≤d（N），后者就相当于max（p，q）≤d（N），我们仍然未能摆脱那个讨厌的d（N），我们希望能得到一个关于N本身或关于p和q的条件.我们怎样才能将max（p，q）≤d（N）=d（2p·5q）转变成一个较为简便的形式？即如所知，在p=q的情形下是没有问题的，写出来就是：p=max（p，q）≤d（2p·5q）=d（10p），10p有p+1位数字，从而就有p≤p+1.在一般情况下，如果我们把2的指数与5的指数逐个“抵消”了会怎么样？写出q=p+h，其中h＞0.

反驳：如果p＞q就不可能有q=p+h且h＞0？

回答：这留待以后再说.

讨论：max（p，p+h）≤d（2p·5p+h）=d（2p·5p·5h）=d（10p·5h），由于h＞0，max（p，p+h）=p+h，另外，对任意的数Q来说，10p·Q中的数字个数=p+（Q中数字的个数）.从而p+h≤p+d（5h），即h≤d（5h）.

问题：什么时候才有h＞0且h≤d（5h）？

实验：h=1时：1≤d（51），没有问题.h=2时：2≤d（52），没有问题，h=3时：3≤d（53），没有问题.h=4时：4≤d（54）=d（625）=3，不对.

猜测：h≤d（5h）当且仅当h=1，2，3.

证明：（略）

重新开始：p＞q怎么样呢？

讨论：设p=q+h，其中h＞0，q+h=max（q+h，h）≤d（2q+h·5q）=d（10q·2h）=q+d（2h），即h≤d（2h）.何时有h≤d（2h）？

实验：h=1时：1≤d（21），没有问题.h=2时：2≤d（22）=d（4）=1，不对.

猜测：h≤d（2h）当且仅当h=1.

证明：（略）

定理4 N为魔数当且仅当它等于10的幂乘上1，2，5，25，125.

证明：（略）