2．对整除性与循环小数的探究

先来看两个归纳的例子：

德国大数学家莱布尼茨曾研究过自然数n的分拆方法：

同理，5=5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1，即p（5）=7.

6=6=5+1=4+2=4+1+1=3+3=3+2+1=3+1+1+1=2+2+2=2+2+1+1=2+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1，即p（6）=11.

由此猜想：p（n）等于第n-1个质数.p（7）应等于13.

而实际上，

7=7=6+1=5+2=5+1+1=4+3=4+2+1=4+1+1+1=3+3+1=3+2+2=3+2+1+1=3+1+1+1+1=2+2+2+1=2+2+1+1+1=2+1+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1+1，即p（7）=15≠13，15更不是质数.

所以，莱布尼茨称“这是归纳法骗人的极好例子”，我们也不能由此就否定归纳法的价值.其实科学上（特别是在数论中）有许多重要的结论最初都是用归纳法得到的.

在中学数学课本中有一个有趣的习题：“立方和=和平方”问题.它也源于归纳法.

对于正整数n，总成立：

13=12

13+23=(1+2)2

13+23+33=(1+2+3)2

13+23+33+43=(1+2+3+4)2

由此可以归纳出统一结论：

13+23+33+43+…+n3=(1+2+3+4+…+n)2

即前n个自然数的立方和等于它们的和的平方.我们可以证明（数学归纳法可证）此结论是正确的.

我们一般人往往满足于所得到的结论，但科学家不会就此罢手，法国数学家柳维尔就想：“这么奇妙的问题背后有什么本质东西，别的自然数组有无此性质？”他最终探讨出本质内容，按如下步骤所得的自然数组也有此性质：

对于任一自然数N，比如6，先确定N的正因子，这些因子是1，2，3，6.再确定这些因子的正因子个数为1，2，2，4.我们得到的数组（1，2，2，4）就具有上述性质，即

13+23+23+43=81=92=(1+2+2+4)2

到此可知，（1，2，3，…，n）是2n-1的因子的因子数，当然有性质

13+23+33+43+…+n3=(1+2+3+4+…+n)2

这就验证了数学大师波利亚的名言：“吃到树上的禁果之后，还应该好好地寻找一下，地下有没有足以使你大开胃口的野蘑菇？”这句话也说明了事物的特殊性与普遍性的辩证关系和相对关系（一个普遍性也可能是另一个普遍性中的特殊性）.

现在我们就学习科学家的方法：争取在任一个问题上都能向前走一步.用特殊性与普遍性的辩证关系和相对关系作指导，从平凡的树上找到禁果，在树的周围寻找蘑菇，再在其地下寻找宝藏，使我们的思维世界更加丰富多彩.

1．关于“9的乘法”的新发现

有文章报道，有人曾经给南极冰层中的冻鱼加温，冰融化后反而鱼开始游动.又经常有报道说某地的一棵死去几年的树又开始发芽了.这些枯木发芽、死灰复燃的事并非天方夜谭，数学上是没有死火山的，说不准突然间会爆发出令人惊异的光亮.“9的乘法”是很古老的知识，也是大家都很熟悉的数学知识，天天在使用，我们是否对它有新感觉？能否向前走一步，进而从中发现数字之间更有趣、更本质的规律？能否看到它耀眼的新光芒？

1×9=09

2×9=18

3×9=27

4×9=36

5×9=45

6×9=54

7×9=63

8×9=72

9×9=81

10×9=90

从表中可发现以下规律：

①上下与横线等距离的两个结果是个位数与十位数对调位置；

②结果中个位数字从9依次递减1到0，十位数字从0依次递增1到9；

③结果中的数的数字和是9（如2+7=9，3+6=9等）.

2．用代数形式表示所发现的规律

代数就是将数、式、问题用字母代替，许多数学问题的证明主要依赖于代数形式.

对于规律③，我们可归纳出以下定理：

定理1 如果一个自然数的各位数字之和能被9整除，则原数能被9整除；反之亦真.

证明：设原数为是n位数，

则=a×10n-1+b×10n-2+c×10n-3+…+d×10+e（科学记数法）=a×（10n-1-1）+b×（10n-2-1）+c×（10n-3-1）+…+d×（10-1）+（a+b+c+…+d+e）.

由于a×（10n-1-1）+b×（10n-2-1）+c×（10n-3-1）+…+d×（10-1）能被9整除，所以只要（a+b+c+…+d+e）能被9整除，则能被9整除.

反之，只要能被9整除，（a+b+c+…+d+e）就能被9整除.

3．代数形式的不变性

在三角函数的诱导公式[如sin（π+α）=-sinα]，不管α是锐角还是别的角，只要我们将它看成锐角，公式是不变的.这就体现了代数形式的不变性.在复合函数的求导中，代数形式的不变性就体现得更充分了.

定理1的证明过程中，我们由数得到数字和（a+b+c+…+d+e），可以继续计算该数的数字和（如：95436——9+5+4+3+6=27——2+7=9），直到得到一个一位数.我们把最后这个一位数叫原数的根.

显然，若一个数的根是9，则这个数是9的倍数.可是如果一个数的根不是9（如是2），能得到什么？

定理2 如果一个数的根是r（r∈N*且0＜r＜9），则数被9除的余数是r.[如48：4+8=12，1+2=3，而48÷9=5……3（余3）.]

证明：由定理1的证明，得

∵右端是9的倍数，则左端也应是9的倍数，

∴数与数（a+b+c+…+d+e）被9除应有相同的余数.

对于两个正整数的和、差、积被9除的余数与它们单个被9除的余数，我们可得到如下关系：

定理3 如果正整数n，m被9除的余数依次为r1与r2，那么（n±m）被9除的余数与（r1±r2）被9除的余数相同；nm被9除的余数与r1r2被9除的余数相同.

证明略.

4．非9的数作除数的余数探讨

上帝是公平的，他对每个数应该是一视同仁的.数9有这样的性质，别的数有以上性质吗？数7有以上性质吗？对于536，其数字和为14，其数字的根为5，而536÷7的余数是4，14÷7=2，整除，但536既不被7整除，余数也不是数字的根.没有这种性质，应该有别的什么性质吧？这才能体现上帝的公平性.或者我们仅仅看到了冰山一角，数字都具有的普遍性还有待我们去发现.

一般的数没有以上类似于数9的性质，但数3有如下性质：

定理4 如果一个数的数字和是3的倍数，则这个数是3的倍数.

证明同定理1.

5．数字和的过程分解

目标固然重要，但真正的享受还在过程中.我们往往太急于赶路而错过欣赏路边的风景.放慢脚步，注意原来每步的分解.

数字95436的数字和可以看成按以下步骤得到：

95436——9543+6——954+3+6——95+4+3+6——9+5+4+3+6

以上数字都是9的倍数.由此定理1与定理2可有下面的叙述：

定理5 一个数，截去末位，并加上此末位数得一新数，当新数能被9整除时，原数能被9整除；当新数不能被9整除时，原数便不能被9整除；当新数被9除的余数是r时，原数被9除的余数也是r.

证明略.

6．寻求判断整除性的统一方法

设正整数A=10x+y（x为大于零的整数，y∈{0，1，2，…，9}）

∵A=10x+10y-9y=10(x+y)-9y=9(x+y)-9y+(x+y),

显然，只要x+y能被9整除，A就能被9整除，定理5由此得证.

∵A=10x+y=9x+(x+y)

∴A=10x+y与x+y除以9的余数相同，这是定理2的另一证明.

∵A=10x+y=10x-10y+11y=10(x-y)+11y

显然，只要x-y能被11整除，A就能被11整除.由此得到结论：

定理6 一个数，截去末位，并减去此末位数得一新数，当新数能被11整除时，原数就能被11整除；当新数不能被11整除时，原数便不能被11整除.

连续应用定理6，可得到与定理1类似的结论：

定理7 如果一个数的奇数位数字之和减去偶数位数字之和的差能被11整除，则原数就能被11整除.

7．其他数（非9）的整除规律

将以上的代数式变形，就可以帮我们发现所有自然数类似数字9的规律.

设A=10x+y（x，y同上），

A=10x+y=10(x+y)-9y=10(x-y)+11y=10(x-2y)+3×7y=10(x+2y)-19y=10(x-3y)+31y=10(x+3y)-29y=10(x+4y)-3×13y=10(x-5y)+3×17y=10(x+5y)-7×7y=…

可以得到统一结论如下：

①一个数，截去末位，并加上此末位数得一新数，当新数能被9整除时，原数就能被9整除；当新数不能被9整除时，原数便不能被9整除；当新数被9除的余数是r时，原数被9除的余数也是r.

②一个数，截去末位，并减去此末位数得一新数，当新数能被11整除时，原数就能被11整除，当新数不能被11整除时，原数便不能被11整除.

③一个数，截去末位，并减去此末位数的2倍得一新数，当新数能被7整除时，原数可被7整除.

④一个数，截去末位，并加上此末位数的2倍得一新数，当新数能被19整除时，原数可被19整除.

⑤一个数，截去末位，并加上此末位数的3倍得一新数，当新数能被29整除时，原数能被29整除.

⑥一个数，截去末位，并加上此末位数的4倍得一新数，当新数能被13整除时，原数能被13整除.

⑦一个数，截去末位，并减去此末位数的5倍得一新数，当新数能被17整除时，原数能被17整除.

⑧一个数，截去末位，并加上此末位数的5倍得一新数，当新数能被7整除时，原数可被7整除.

……

这些结论有很多，在操作过程中，可连续使用.

例如：6992能被19整除吗？

应用上面的结论可知：6992这个数中，x=699，y=2，x+2y=699+2×2=703.703比较大，所以用703作为新数，此时x+2y=70+6=76.76能被19整除（76=19×4），所以6992能被19整除.

如果看不到76=19×4，还可将76看成新数，这时x+2y=7+12=19，显然是19的倍数，所以6992能被19整除.

至此，联想到定理2中的数字根问题，很自然想到9以外的数字的数字根如何？通过验证，发现不具有如定理2的性质，如41被19除的余数为3，但4+1×2=6，被19除的余数为6，不是3.不过我们可以发现，每做一次“截去末位，并加上此末位数的n倍”的变换，余数也相应地变为原来的n倍（如上例41的余数3变为6，下一次变为12，再下一次变为24）.

我们可以把以上具体判断整除性的法则用公式表示：

A=10x+y=10(x+ny)-(10n-1)y=10(x-ny)+(10n+1)y

这样，上面的整除性问题可以统一用两句话表达：

⑨一个数，截去末位，并加上此末位数的n（n∈N*）倍得一新数，当新数能被10n-1（或10n-1的因子）整除时，原数可被10n-1（或10n-1的因子）整除.

⑩一个数，截去末位，并减去此末位数的n（n∈N*）倍得一新数，当新数能被10n+1（或10n+1的因子）整除时，原数可被10n+1（或10n+1的因子）整除.

很自然有人会问：10n-1或10n+1及它们的因子能包含任意的自然数吗？可以，我们用一个例子（寻找判断能被37整除的数的规律）来说明：

首先37不具有10n+1，10n-1的特点，但37×3=111，37×7=259，所以

A=10x+y=10(x-11y)+111y=10(x-11y)+3×37y

由此我们可以得到判断方法：一个数截去末位，并减去此末位数的11倍得一新数，当新数能被111（或37）整除时，原数可被111（或37）整除.

也可以构造A=10x+y=10（x+26y）-259y=10（x+26y）-7×37y来得到整除性的判断方法.从理论上来说，这种统一的方法我们找到了，在实际操作上可能并不是每步都能变简单，也可能是变复杂了.但不能由此就否定它的价值，它毕竟是一个统一规律.

8．数字变换

隐藏于树上几千年的禁果我们吃到了，我们低头再寻找蘑菇吧！在树下找，不是孤立地找，应该通过树和禁果去寻找，顺藤摸瓜，注意蛛丝马迹，即用联系的思想去分析，去探讨.

我们用统一结论④，若一个数是19的倍数，只要“截去末位，并加上此末位数的2倍”，连续进行，最后总得19.我们将它视为一种变换，进行到底，看它的变化.如果任意给一个数（如果原来只有一位，就用它的2倍来替换），用此方法操作如何？

我们从1开始，反复进行，结果如下：

1→2→4→8→16→13→7→14→9→18→17→15→11→3→6→12→5→10→1

经过19步又回来了，从1开始比19小的18个数都出现了，而19→19.

若用统一结论⑥，13的倍数（其实是39的倍数）的判断方法：“截去末位，并加上此末位数的4倍”作为变换，又怎样（如果原来只有一位，就用它的4倍来替换）？从1开始如下：

1→4→16→25→22→10→1

经过6步后回来了.其实从圈子里任何一个数出发，经过6步都是可以回到原数的.但这个圈子里2，3，5，6等未出现.从未出现的数开始如何呢？

2→8→32→11→5→20→2

3→12→9→36→27→30→3

6→24→18→33→15→21→6

7→28→34→19→37→31→7

13→13

14→17→29→38→35→23→14

26→26

39→39

可以看到：13自己循环，26自己循环，39自己循环；其他的循环长度都是6；共出现从1到39的所有自然数.

对于19的倍数的判断方法的变换：“截去末位，并加上此末位数的2倍”，出现从1到18的所有自然数，而对13的倍数的判断方法的变换：“截去末位，并加上此末位数的4倍”，出现的不是1到12的所有自然数，为什么出现从1到38的所有自然数呢？

我们看以前的代数式子：

A=10x+y=10(x+2y)-19y=10(x+4y)-39y=10(x+4y)-3×13y

可以明白一些，13产生于3×13=39，出现1～38的所有数.13×1=13，13×2=26，13×3=39，这3个数自己循环.但其中的本质还需继续探讨.

新问题1：“截去末位，并加上此末位数的n倍”的变换一定循环吗？循环的长度如何决定？有几圈循环又由什么决定？

9．用乘法做除法

在小学二年级学除法时，有些同学好久都学不会，笔者当时就想发明一个算除法的简单方法.这个问题困扰了笔者几十年，现在终于找到了几种简单方法，而在探讨这个问题的过程中，还发现了一些求开方、求三角、求对数、计算圆周率π的方法.我们现在用乘法做除法.

从上面“截去末位，并加上此末位数的2倍”等的变换，我们看到了数的循环，由此联想到循环小数.先观察分母为7的分数

可以看到，商数1，4，2，8，5，7从小到大转圈且分母×循环节末位+分子=10k（k∈N*）.

再看

可以看到，商数不是转圈，但分母×循环节末位+分子=10k（k∈N*）仍成立.

再观察下列分母为质数、分子为1的分数与它的循环小数：

可发现以下规律：

①循环节末位数与分母之积的末位数是9（这时的余数才是1，开始循环）.

②循环节中自后往前的各个数字依次呈现某种倍数关系（有时进位）.

③循环节的长度有些是分母减1（如7，19）；有些不是（如13）.

例如的循环节末位是7，按5倍变化；的循环节末位是1，按2倍变化；循环节末位是3，按4倍变化；的循环节末位是3，按7倍变化……又一次发现7与5倍有关，13与4倍有关，19与2倍有关；对，此规律同样正确（3×3=9，按1倍变化）.

至此与以前的关系式

A=10x+y=10(x+y)-3×3y=10(x+2y)-19y=10(x+4y)-3×13y=10(x+5y)-7×7y=10(x+7y)-3×23y

再次有联系.

具体计算，可以用以下方法列式进行：

方法一：（整体乘4）

①先确定循环节的末位是3（从1开始逐个找，先找到3，13×3=39）；

②由A=10x+y=10（x+4y）-3×13y式确定倍数为4；

③3×4=12向左移一位写12，再12×4=48，在12的下方与12的1对齐写8，依次继续48×4=192进行，每次向左错一位；

④将这些数字相加（如图1）可得076923这组循环数.

方法二：（个位乘4）

①先确定循环节的末位是3（从1开始逐个找，先找到3，13×3=39）；

②由A=10x+y=10（x+4y）-3×13y式确定倍数为4；

③3×4=12向左移一位写12，再2×4=8，在12的下方与12的1对齐写8，接下来应是（8+1）×4=36进行，再6×4=24，再（3+4）×4=28，下一步是（2+8）×4=40，…，依次继续；

④将这些数字相加（如图2）可得076923这组循环数.

我们将此方法称之为“错位—加倍”法吧.显然方法二方便得多.

10．用乘法得到循环小数的另一个分析

我们看到的任何东西也许是另一事物的特殊一面，要乘胜追击，扩大战果，永无止步.

先来分析几组结果：

7×7=49，比10的5倍少1；

13×3=39，比10的4倍少1；

17×7=119，比10的12倍少1；

19×1=19，比10的2倍少1；

……

由此可见，倍数是循环节末位数与分母之积加上1的和的.我们可验证此规律对分母是质数（除2，5）的分数都正确.

以上都是分母是质数的情况，若分母是不以2或5为因数的合数如何呢？

用“错位—加倍”法，的计算如图3：

①先确定循环节的末位是9（21×9=189）；

②21×9=189，=19，确定19倍；

③9×19=171，末位1在9的下方向左移一位写；再1×19=19，在171的下方与17对齐写19；再1×19=19，6×19=114，依次继续进行；

④将这些数字相加（如图3）可得047619这组循环数.

其他分数化循环小数如法炮制也完全正确，由此得出结论：

结论：把单位分数（q为不以2，5为其因数的数）表示成小数，必是一个纯循环小数，循环节的末位数字p是与分母q的个位之积为9的数字，其他各位（自后往前）依次是后一位数字的个位与（pq+1）的乘积（有进位时应把进位数字加进去），直到重新循环（不超过q位）为止.

新问题2：以上规律如何证明？

11．化循环小数的又一发现

会学习的人都有这种感觉：越学问题越多，好像捅了马蜂窝，遇到麻烦，其实有麻烦就意味着有进步.

在上面的中，我们发现从前向后的14，28之间有2倍关系，用“错位—加倍”法（这时每下一步向右移2位），可得图4的结果142857循环，答案完全吻合.能证明它吗？别的数能这样计算吗？

12．“互补”数及其性质

古希腊哲学家芝诺提出过一个著名的悖论：兔子追不上乌龟.乌龟与兔子赛跑，假设兔子的速度是乌龟的10倍，乌龟在兔子前100米处，同时起跑.当兔子跑到乌龟的起跑点时，乌龟在兔子前10米处；当兔子跑完这10米时，乌龟又在兔子前1米处……如此下去，兔子永远追不上乌龟.

这是将有限时间内的问题用无限去分析，从而产生悖论.但这种有限用无限表示的方法确实很有用.

定义：若两正整数a与b之和a+b=10k（k∈N），我们称a与b为互补的两个数，如2的补数为8或98或998等.可看到一个数的补数不唯一.

定理8一般地，对于正整数a，b，若a+b=10k（k∈N），则

命题得证.

由以上定理，可知

列式计算如图5.

依无穷级数分析，小数点后两位是01，下来两位是01乘以2即02，再下来是给02乘以2得04，以此类推，需进位时按普通方法进行.

以上我们将与联系起来看到了这种计算的本质规律，但从互补数的角度我们首先想到7的补数是3，能做出答案吗？

如图6列式计算，同样得到142857.不过这时的计算数字变化较大，计算更繁.这个方法可以用于任何数，如可这样计算：

这个过程是乘以5.

至此，我们已对分数化小数得到好几种不同的方法，它们有优有劣，真正使我们感兴趣的是它们之间的联系与规律.同时也使我们发现新的问题.

13．重新分析“截去末位，并加上此末位数的n倍”

前面我们有“截去末位，并加上此末位数的4倍”的变换，从1开始的变换如下：

1→4→16→25→22→10→1（六位循环数为1，4，16，25，22，10）.

它是由A=10x+y=10（x+4y）-39y=10（x+4y）-3×13y的式子引出来的.我们再看的循环小数与各步除法的余数（商数下面的数是余数）

可发现以下规律：

①在变换中的6个数的个位从后往前（10作为第一个）就是循环节（商数→025641）或在变换中的6个数的个位从前往后取（146520），然后调头就是循环节.

②变换中的6个数倒着看正是除法每步的余数.

下面我们来验证、分析以上规律.

①对于乘以4的变换从2开始为

2→8→32→11→5→20→2

与的循环小数和余数对照，

以上规律完全正确.

②但3开头乘4的变换为

3→12→9→36→27→30→3

而商数符合以上规律，余数却不符合，为什么？

化小数过程中的余数分别为1→10→9→12→3→4→1.

若乘以3，得3→30→27→36→9→12→3，倒着看是3开头乘以4的变换，正是化小数过程中的余数.

③我们再分析

A=10x+y=10(x+5y)-7×7y=10(x-2y)+3×7y

从7开始，乘以5的变换：7→35→28→42→14→21→7.

变换的个位为7，5，8，2，4，1，从后往前就是的循环节数字.变换的数字除以7，从后往前看就是化小数的各位余数.

以上规律仍然成立.

④从1开始，如果用乘以（-2）的变换，得1→-2→4→-8→16→-11→1.

由于乘以（-2）是对应21的整除性，而，无论是商数还是余数都与变换对不上.如果在上面的变换中将其负数加上21，得变换1→19→4→13→16→10→1，这时的变换数字倒着排就是余数，但仍看不到与商数的联系.

⑤对于

从3开始乘以（-2）的变换：3→-6→12→-3→6→-12→3.

变换中的负数加上21为3→15→12→18→6→9→3，对应于的余数.再将各数除以3，得1→5→4→6→2→3→1，倒着看就是的余数，但仍看不到与商数的关系.

新问题3：从理论上如何证明以上结论？

这些可以算作我们采到的蘑菇吧.新问题不断出现，要搞清本质还需继续研究.数字之间的奥妙无穷，我们发现的只是一些表面的特点.地下的宝藏在下篇中我们再继续挖掘吧.

参考文献

[1]谈祥柏.数：上帝的宠物[M].上海：上海教育出版社，1996

[2]傅钟鹏.数学英雄欧拉[M].天津：新蕾出版社，2001

思考与研究

对于菲波拉契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，它的规律是从第3项起每项是前两项之和.我们按它的规律但每次只取数的个位就可构造出如下数列：

1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,…

有以下性质：

①此数列为循环数列且循环节长度为60；

②前30个数与后30个数每位对应相加为10；

③偶数出现4次，奇数出现8次.

试研究分析此数列的其他性质.