1.2　非线性系统理论基础

在现代控制工程中，任何实际控制系统都是非线性的，线性只是在一定程度上和一定范围内对系统的近似描述。在实际生活中，最真实的动态系统也是非线性的，所以设计和控制非线性系统具有很大的发展前景。但在控制理论发展的初期，一方面由于对控制系统的精确度和性能要求都不高，所以当控制系统的非线性因素被局部线性化或者被忽略后，在一定范围内系统仍然可以达到对控制的要求；另一方面也由于非线性动力学的发展和非线性系统结构的复杂性，对非线性系统的设计和控制也没有线性系统那么快。因此，非线性系统并没有像线性系统那样形成系统的、完善的理论体系。

线性系统有很多种不同形式的标准型，而且相互间可以转化。与线性系统相比，非线性系统的情况就变得很复杂了，对非线性系统有多种描述方法，但是相互间并不都能转化。

1.2.1　非线性系统的数学描述

通常一个非线性系统可以描述成如下的微分方程[2]：

式中：x——状态向量，x∈Rn；

y——输出向量，y∈Rq；

值得指出的是系统的状态方程一般指式-中的式

f（·）与h（·）——向量函数。而式y（t）=h（x, u，t）通常称为系统的输出方程。但需要注意的是，这里的输出y有时并不是仅仅指整个系统的实际输出信号经常还包括了我们所关心的那部分状态的测量信号需要指出的是，对式（1-1）中描述的非线性系统S，我们总是假设系统的状态向量x（t）可以由初值x0与输入函数u（t）唯一的确定。另外，我们设输入函数u（t）在任何有限的时间区间内都是有界的。实际上，在任何控制设计中几乎都会这么要求。在反馈控制设计中，输入函数u（t）可能是状态向量x（t）的函数[3]。

非线性系统有很多种描述方法，有时可以依据不同的研究利用不同的描述方法来表示。如图1-2所示，有时我们直接用y=Su这样的算子描述来简单的表达这一系统，用来直接讨论该系统的输入输出特性。但是要注意的是，这时系统内部的初始状态x0=x（0）并没有显示出来，然而在分析过程中，我们却往往不能够忽略这种初始条件。我们都知道，对线性系统来说，除状态空间描述外，利用微分方程对输入输出进行描述也是一种常用的方法。对于单输入单输出（SISO）非线性系统，类似的描述也是值得我们注意的：

其中，

这里（·）i指i阶导数，[·]T表示转置。

对式（1-2）所表示的系统，一般作如下假设：

（1）函数ϕ（·）∈C1；

（2）满足正则条件：

显然，式（1-2）可以退化为如下线性系统：

通常式（1-2）所示的描述方法称为微分输入输出描述[1]。

我们知道，对线性系统，状态空间描述和输入输出描述在一定的条件下可以相互转换。对于非线性系统，有时也有相类似的转化。例如对SISO系统（1-2），如果定义：

并在系统的输入端进一步推广m个积分器，定义积分器状态：

则系统（1-1）可以转化为：

显然这就成为了系统（1-1）的特殊形式。

对于常见的非线性系统，其形式通常可以用式（1-1）来表示。如果系统（1-1）表示时不变系统时，那么式（1-1）中的f（·）将不显示时间t，这时系统变为：

系统（1-3）表示了非常广泛的一类非线性系统，它包括了下面几种常见的特殊形式[1]：

（1）仿射非线性系统。

（2）Lurie系统。

（3）静态非线性系统。

（4）线性系统。

可以看出，式（1-4）仿射非线性系统中的状态方程和输出方程，关于输入信号u是线性的，但对状态是非线性的。其实线性系统本身就是仿射非线性系统的特殊情况。在式（1-6）静态非线性系统中，输出直接是输入信号的某个函数，没有内部状态。Lurie系统（1-5）是一类广为讨论的带有非线性控制的系统，可以被看成是线性单变量系统和静态非线性系统的串连连接[2]。一般地，在实际操作或计算时，非线性系统的模型通常是由非线性差分方程或非线性微分方程来给出，而在对此类模型进行辨别时，常常采用线性化，将它们展开成特殊的函数等方法。

1.2.2　非线性系统的基本特性

与线性系统相比，非线性系统具有的一个区别于它的最主要的特征是，叠加原理不再适用于非线性系统，由于这个性质，就导致了非线性系统在学习和研究上的复杂性。也因为非线性系统的复杂性，致使其理论的发展与线性系统理论相比，显得稚嫩和零散。非线性系统本身的复杂性及其数学处理上的一些困难，造成了到现在为止仍然没有一种普遍的方法可以用来处理所有类型的非线性系统。

由于非线性现象能反映出非线性系统的运动本质，所以非线性现象是非线性系统所研究的对象。但是用线性系统理论的知识却是无法来解释这类现象的，其主要缘故在于非线性系统现象有自激振荡、跳跃谐振、分谐波振荡、多值响应、频率对振幅的依赖、异步抑制、频率插足、混沌和分岔等。

非线性系统与线性系统相比较，其具有了一系列新的特点：

（1）叠加原理在再适用于非线性系统，但是具有叠加性和齐次性却是线性系统的最大特征。

（2）非线性系统经常会产生持续震荡，即所谓的自持振荡；而线性系统运动的状态有两种：收敛和发散。

（3）从输入信号的响应来看，输入信号不会对线性系统的动态性能产生任何影响，但是输入信号却能影响非线性系统的动态性能。而且对于非线性系统来说，系统的输出可能会产生变形和失真。

（4）从系统稳定性角度来说，输入信号的种类和大小以及非线性系统的初始状态，对非线性系统的稳定性都有影响，但是在线性系统中，系统的参数及结构就决定了系统的稳定性，且系统的输入信号和初始状态对系统的稳定性没有丝毫关系。

（5）当正弦函数为输入信号时，非线性系统的输出是会有高次谐波的函数，而且函数的周期是非正弦周期的，就是说系统的输出会产生倍频、分频、频率侵占等现象，但是对线性系统来说，当输入信号为正弦函数时，系统的输出是同频率的正弦函数，也是一个稳态过程，两者仅在相位和幅值上不同。

（6）在非线性系统中，互换系统中存在的串联环节，也许将导致输出信号发生彻底的改变，或者将使稳定的系统变为成一个不稳定的，但是对于线性系统来说，系统输出响应并不会由于互换串联环节而发生变化。

（7）非线性系统的运动方式比线性系统要复杂得多，在一定的条件下，非线性系统会有一些特殊的现象，如突变、分岔、混沌。

由于现在还没有普遍性的系统性的数学方法，可以用来处理非线性系统的问题，所以对非线性系统的分析要比线性系统复杂很多。从数学角度来看，非线性系统解的存在性和唯一性都值得研究；从控制方面来看，即使现为止的研究方法有不少，但能通用的方法还是没有。从工程应用方面来看，很多系统的输出过程是很难能精确求解出来的，所以一般只考虑下面3种情况：第一，系统是不是稳定的；第二，系统是不是会产生自激振荡以及自激振荡的频率和振幅的计算方法；第三，怎么样来限制系统自激振荡的幅值以及用什么方法来消除它。例如，一个频率是ω的自激振荡可被另一个频率是ω1的振荡抑制下去，这种异步抑制现象已被用来抑制某些重型设备的伺服系统中由于齿隙引起的自振荡。