1.3 非线性控制研究发展现状
传统的非线性研究是以死区、饱和、间隙、摩擦和继电特性等基本的、特殊的非线性因素为研究对象的，主要方法是相平面法和描述函数法。相平面法是Poincare于1885年首先提出的一种求解常微分方程的图解方法。通过在相平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。它是时域分析法在相空间的推广应用，但仅适用于一、二阶系统。描述函数法是P.J.Daniel于1940年提出的非线性近似分析方法。其主要思想是在一定的假设条件下，将非线性环节在正弦信号作用下的输出用一次谐波分量来近似，并导出非线性环节的等效近似频率特性（描述函数），非线性系统就等效为一个线性系统。描述函数法不受系统阶次的限制，但它是一种近似方法，难以精确分析复杂的非线性系统。
非线性系统的稳定性分析理论主要有绝对稳定性理论、李亚普诺夫稳定性理论和输入输出稳定性理论。绝对稳定性的概念是由苏联学者鲁里叶与波斯特尼考夫提出的，其中最有影响的是波波夫判据和圆判据，但难以推广到多变量非线性系统。李亚普诺夫稳定性理论是俄国天才的数学家李亚普诺夫院士于1892年在他的博士论文里提出的，现在仍被广泛应用。但它只是判断系统稳定性的充分条件，并且没有一个构造李亚普诺夫函数的通用的方法。输入输出稳定理论是由I.W.Sanberg和G.Zames提出的。其基本思想是将泛函分析的方法应用于一般动态系统的分析中，而且分析方法比较简便，但得出的稳定性结论是比较笼统的概念。
20世纪60年代之后，非线性控制有了较大发展，如自适应控制、模型参考控制、变结构控制等，这些方法大多与Lyapunov方法相关。可以认为是Lyapunov方法在控制领域的丰富成果。20世纪80年代以后，非线性控制的研究进入了一个兴盛时期。这一时期非线性控制理论研究的基本问题、方法和现状主要表现为以下几个方面：
1.3.1 变结构控制方法
苏联学者邬特金和我国的高为炳教授比较系统地介绍了变结构控制的基本理论。变结构控制方法通过控制作用首先使系统的状态轨迹运动到适当选取的切换流形，然后使此流形渐近运动到平衡点，系统一旦进入滑动模态运动，在一定条件下，就对外界干扰及参数扰动具有不变性。系统的综合问题被分解为两个低维子系统的综合问题，即设计变结构控制规律，使得系统在有限时间内到达指定的切换流形和选取适当的切换函数确保系统进入滑动模态运动以后具有良好的动态特性。由系统不确定因素及参数扰动的变化范围可以直接确定出适当的变结构反馈控制律解决前一问题。而后一低阶系统综合问题可以用常规的反馈设计方法予以解决。由于变结构控制不需要精确的模型和参数估计的特点，因此这一控制方法具有算法简单、抗干扰性能好、容易在线实现等优点，适用于不确定非线性多变量控制对象。
以滑动模态为基础的变结构控制，早期的工作主要由苏联学者完成，这一阶段主要以误差及其导数为状态变量，研究SISO线性对象的变结构控制和二阶线性系统。研究的主要方法是相平面分析法。20世纪60年代，研究对象扩展到MIMO系统和非线性系统，切换流形也不限于超平面，但由于当时硬件技术的滞后，这一阶段的主要研究工作，仅限于基本理论的研究。到了20世纪80年代，随着计算机和大功率电子器件等技术的发展，变结构控制的研究进入了一个新的时代。以微分几何为主要工具发展起来的非线性控制思想极大地推动了变结构控制理论的发展，如基于精确输入/状态和输入/输出线性化及高阶滑模变结构控制律等都是近十余年来取得的成果。所研究的控制对象也已涉及到离散系统、分布参数系统、广义系统、滞后系统、非线性大系统等众多复杂系统。变结构控制研究的主要问题有以下几点：
（1）受限系统变结构控制。
许多实际控制系统需要考虑与外部环境的接触因素。描述这类系统的动态往往带有一定的约束或限制条件，故称为受限系统。约束条件分为完整和非完整约束两大类。完整约束上只与受控对象的几何位置有关，且由代数方程描述，经过积分运算可使约束得到简化，从而可以分解出若干个状态变量，将原始系统转化为一低阶无约束系统，故其控制问题与无约束系统相比没有太大困难。而非完整约束本质上为动态约束，由于不能通过积分等运算将其转化为简单的代数运算方程，使其控制及运动规划等问题变的相当困难。此外还有一些新的特点：如不能采用光滑或连续的纯状态反馈实现状态的整体精确线性化，但通过适当的输出映射选取，可以实现输入/输出的精确线性化；在光滑的纯状态反馈下不能实现平衡点的渐近稳定，但采用非光滑或时变状态反馈却可以实现。
（2）模型跟踪问题。
采用最优控制理论设计多变量控制系统遇到两个问题：第一，很难用性能指标指定设计目的。第二，对象参数往往有大范围扰动。克服第一个困难的有效方法之一是采用“线性模型跟踪控制”、基本思想是将一刻化设计目标的参考模型作为系统的一部分，使受控对象与参考模型状态问的误差达到最小化。但不能克服第二个困难，为使系统在参数变化情况下，保持优良品质，一种有效的方法是“自适应模型跟踪控制”，其主要设计方法：Lyapunov直接法和超稳定法。
虽然变结构控制理论40年来取得了很大的进展，而且具有良好的控制特性，但是仍有许多问题没解决，其振颤问题给实际应用带来了不利的影响。为了克服这种缺陷，许多学者致力于改善振颤问题的研究，特别是变结构控制与智能控制方法，如模糊控制、神经网络等先进控制技术的综合应用尚处在初步阶段，绝大多数研究还仅限于数值仿真阶段。在应用研究方面，大多限于电机、机器人的控制等方法。目前的主要研究内容大都集中在受限系统变结构控制、模型跟踪问题的变结构控制、离散时间系统的变结构控制、模糊变结构控制等方面。
1.3.2 反馈线性化方法
反馈线性化方法是近20年来非线性控制理论中发展比较成熟的主法，特别是以微分几何为工具发展起来的精确线性化受到了普遍的重视。其主要思想是：通过适当的非线性状态和反馈变换，使非线性系统在一定条件下可以实现状态或输入/输出的精确线性化，从而将非线性系统的综合问题转化为线性系统的综合问题。它与传统的利用泰勒展开进行局部线性化近似方法不同，在线性化过程中没有忽略掉任何非线性项，因此这种方法不仅是精确的，而且是整体的，即线性化对变换有定义的整个区域都适用。
（1）微分几何方法。
该方法是通过微分同胚映射实现坐标变换，根据变换后的系统引入非线性反馈，实现非线性系统的精确线性化，从而将非线性问题转化为线性系统的综合问题。该方法适合于仿射非线性系统。
（2）逆系统方法。
该方法的基本思想是：通过求取被控过程的逆过程，将之串联在被控过程前面，得到解耦的被控对象，然后再用线性系统理论进行设计。由于系统可逆性概念是不局限于系统方程的特点形式，而具有一定的普遍性，概念和方法容易理解，也避免了微分几何或其他抽象的专门性数学理论的引入，从而形成了一种简明的非线性控制理论分支。逆系统方法研究的基本问题是：一个系统是否可逆，如何获得一个系统的逆系统，逆系统结构的物理可实现等问题。
（3）直接反馈线性化（DFL）方法。
该方法的基本思想是：选择虚拟控制量，从而抵消原系统中的非线性因素，使系统实现线性化。这种方法不需要进行复杂的非线性坐标变换，物理概念清楚，数学过程简明，便于工程界掌握。该方法不仅适用于仿射非线性系统，而且对于非仿射形非线性系统以及一类非光滑非线性系统均可适用。研究的基本问题有：如何应用DFL理论使系统线性化，线性化以后能否由虚拟输入量的表达式中求得非线性反馈控制律，线性化以后系统的性质（如可接性、可观性）如何。反馈线性化方法为解决一类非线性系统的分析与综合问题提供了强有力的手段，但是这些方法都要求有苛刻的条件，且结构复杂，有时很难获得所需的非线性变换；另一方面许多实际系统具有非完整约束的力学系统，不再满足精确线性化方法中的条件要求，因而非线性系统的近似处理方法具有相当的理论与应用意义。
非线性控制理论发展至今已取得了丰硕的研究成果，并得到了广泛的应用，但由于非线性系统的复杂性，非线性系统的分析是十分复杂与困难的，在许多问题面前，非线性理论显得无能为力，面临着一系列严峻的挑战。例如，当被控对象相对复杂时，用以上方法控制系统时会出现计算繁琐且计算量巨大等问题，这导致设计控制器比较困难。另一个难题就是被控对象的建模存在不确定性，如果想用以上固有的方法，就必须先获得精确的数学模型。但在真实的控制系统中，由于不可测扰动和外界干扰的存在，通常得不到精确模型。为了解决这些非线性系统控制中出现的难题，很多学者仍在研究更好的解决方案。
1.3.3 基于算子理论的鲁棒控制方法
本书所介绍的是基于演算子理论的鲁棒右互质分解方法。此方法起源于线性系统的互质分解理论。20世纪70年代初，Rosenbrock将互质分解理论引入到多变量系统，此后，线性互质分解理论被广泛运用到系统镇定和鲁棒稳定性研究中。Youla参数化公式是将控制器和对象分别左右互质分解，从而得到镇定被控对象控制器的表达式[4]。之后，Nett等人将对象进行左分解和右分解，并得出被控对象的Bezout恒等式因子的状态空间表达式，这些研究成果为H∞频率法的研究做好了理论基础[5-6]。线性互质分解方法现已基本完善。非线性系统的互质分解方法是从线性互质分解理论中进入改进得到的。由于非线性系统与线性系统有很多不同，线性系统的一些理论运用到非线性系统中并不合适。如果想在非线性系统上运用线性系统理论，需要理论和实验论证成立。在线性系统中，左互质分解和右互质分解的研究是一致的，其都与Bezout恒等式一致，而在非线性系统中却不同，其中右互质分解与Bzout等式对应，但左互质分解就没有这种对应关系了。现今，对非线性互质分解的研究逐渐被学者重视，他们的研究主要有两大类，一类是输入—输出方法研究，另一类是用状态空间的方法研究。虽然这对非线性右互质分解的研究尚不完善，但其应用的演算子是定义在扩展的Banach空间上更一般的Lipschitz演算子，能够更好地处理演算子的逆、因果性、稳定性问题；所用的演算子可以是线性的也可以是非线性的，可以是有限维的也可以是无限维的，可以是频域也可是时域的，应用范围广，其优势使很多学者投身对它研究。
DeFigueiredo最先给出了非线性算子的准确概念[7]；之后Chen提出了鲁棒右互质分解性的概念，建立了系统的鲁棒右互质分解性与鲁棒稳定性之间的关系，而且证明了在满足Bezout等式的条件下才能进行右互质分解[8]。Chen利用Lypschitz算子，得出了一类非线性系统具有鲁棒右互质分解性的充分必要条件。Deng对此又进行了更深层的研究，讨论了非线性系统鲁棒右互质分解的可实现性。Deng在2008年提出了基于算子理论的鲁棒右互质分解方法，并讨论解决非线性控制跟踪及故障检测等问题，得到了较好的结果[9]。之后，毕淑慧、温盛军等在此基础上又做了进一步研究[10]。基于算子理论的控制系统设计优点在于：应用的演算子是比定义在扩展的Banach空间上更一般的Lipschitz算子，能够更好地处理演算子的逆、因果性、稳定性问题；所用的演算子可以是线性的也可以是非线性的，可以是有限维的，也可以是无限维的，可以是频域，也可是时域的，应用范围广；对于不确定性的控制用一个范数不等式来限定，对设计反馈控制系统保持鲁棒稳定性提出了新概念；对于系统优化设计问题，所采用的控制器能够同时保持鲁棒稳定性与跟踪性能[11-12]。目前，此方法已经被逐步拓展到复杂系统的研究。因此，本书主要在于讲述基于算子理论的非线性控制系统设计，及其在一些过程控制系统中的应用。