3.2　望远镜的镜筒和其他结构设计

3.2.1　望远镜镜筒的误差要求

镜筒在光学天文望远镜中起着十分重要的作用。它连接望远镜的主镜和副镜，并保证主副镜的相对位置。小型光学望远镜的镜筒是真正的圆筒形，但是当重力和镜筒轴线垂直时镜筒的两侧会发生下沉，并向相反方向偏摆。镜筒的一端是主镜，另一端为副镜，这种偏斜作用会相互叠加，从而引起望远镜的指向误差并在像场上产生彗差。主副镜镜面相对位置的改变所引起的指向误差由下式表示：

式中u1和u2是主镜和副镜相对于望远镜焦点的位移，θ为主副镜之间的相对转角。f为系统焦距，m为副镜放大率，r2为副镜的顶点曲率半径。在望远镜中由于重力所引起的指向精度有一定的规律，可以利用计算机对其进行校正，或者用导星装置加以抵消。但是由于主副镜的位置变化，望远镜在视场中会产生彗差。这个影响就比较难以克服，所以我们要特别注意望远镜光学元件的相对位置。主副镜位置误差所引起的彗差大小是：

式中u是主镜和副镜的相对位移，F为系统焦比，为副镜的偏心率。注意这一公式并不包括系统本身的固有彗差。由于主副镜位置变化所引起的彗差与系统固有彗差不同，这种新加的彗差在视场上是均匀分布的，而卡塞格林系统的固有彗差与视场角有密切联系，随视场角增大而增大。在R-C系统中由于主副镜面都是双曲面，所以理想的R-C系统不存在彗差。上面两个公式总共有两或三项，所以某一项的增加可以利用其他项的减少来补偿，这就是零彗差结构设计的基本思想。当副镜位移是不可避免时，我们可以使副镜产生一定有利的偏转，从而改正指向误差或者校正彗差。这对于镜筒设计和摆动副镜的旋转中心的确定有着很大的意义。

在两镜系统中主副镜间的轴向位移δl会引起相应焦点平面上的轴向位移δf。其关系式为：

应用波像差方法来确定主副镜位置的允差公式，它的基本原理和射电望远镜中确定主副镜位置允差的理论相同，可以参考后面第八章8.1.5节中的讨论。

3.2.2　望远镜的镜筒设计

经典光学望远镜的镜筒一般采用A字型桁架结构，这种结构是由赛路里（Serrurier）提出并应用于美国5米海尔望远镜上，称为赛路里桁架（图3.14a）。在这种设计中从镜筒中心块的四个顶点各向着主镜和副镜的方向伸出四个A字形的桁架结构。这些桁架在中心块的交点正好通过中心块的支承平面，以避免在中心块上产生附加力矩。当重力方向与镜筒轴线重合时，主副镜A字形的桁架会同时下沉，但是镜筒轴线保持不变，不产生指向误差。当重力与镜筒轴线垂直时，由于镜筒上下两个面上的A字形桁架不支持主副镜重力，它们长度不变，保证了主副镜室只产生平行移动，而不产生镜面转动，镜筒两侧的A桁架支持主副镜的重力。赛路里桁架的设计是使主副镜产生相同的下沉量。这样望远镜在所有方向上均不会引起指向误差和因主副镜位置变化所产生的彗差。

设主镜或副镜的载荷为W，A字形桁架的截面积为A，镜筒中心块到镜面的长度为L，中心块的宽度为D，则重力垂直于镜筒轴线时镜室位移量为：

式中E是材料的杨氏模量。在主副镜的桁架设计中，只要根据主副镜质量和桁架长度来决定桁架截面积，就可以保证主副镜之间的相对位置保持不变。

由于这种A桁架结构位移是长度平方的函数，一般情况下副镜支承杆会又大又粗，这增加了镜筒质量，同时产生了不理想的结构热性能。由于在重力作用下镜筒变形是有规律的，现代大口径望远镜在副镜机构中增加了在各个方向上的微调机构，通过计算机进行控制，所以现在镜筒设计可以不采用赛路里桁架。一些望远镜仅仅在上部采用A桁架，而下部主镜室是用平行杆件支承。

为了改善镜面宁静度，一些主镜甚至高于中心块平面，使自然风顺利地通过主镜表面，保持主镜较低温度。还有一些望远镜甚至采用倒立的A桁架，以获得高强度的副镜框架（图3.14（b））。副镜微调机构常常使用六杆式的平台机构。

为了改善支承桁架的热性能和机械性能，不少大口径望远镜的副镜支承使用了双层A桁架结构，即在一截A桁架上面再加一截A桁架。这样桁架截面积及桁架质量均大为降低，热性能也大大改进。凯克（Keck）10米望远镜就采用了这种双层A桁架设计（图3.15）。

具有分布载荷同时在两端点有集中载荷的悬臂梁的谐振频率为（Schneermann，1986）：

式中E是杨氏模量，I为梁的惯性矩，A为截面面积，L为长度，ρ为材料密度，m为分布载荷，mc为集中载荷。

一般情况下镜筒中高度轴承安排在中心块外侧，这时中心块弯曲和下沉不可避免。如果将轴承位置移入中心块内，这时镜筒中心块就不会产生变形。镜筒是望远镜中重要部件，在镜筒设计中要消除不需要的应力，以保证望远镜的性能。

主镜室位于镜筒下方，通常由圆柱形侧面和平底板构成。镜室提供主镜的轴向和径向支承。在多数望远镜上，镜室同时支承卡焦仪器。

为了获得最高的强度和质量比，空间望远镜和极大口径拼合镜面望远镜的主镜室常常和射电望远镜的类似，是一个空间桁架结构。这样支承副镜的桁架变成了馈源支承的形式，这些支承杆直接连接在主镜室的桁架上被称为准直结构。图3.16是欧洲南方天文台曾经提出的100米口径巨大望远镜的镜室和它的准直结构的示意图。主镜面由一块块子镜面组成，每个子镜面由桁架上面的三个节点支承。大型桁架不管在室内还是室外都会产生温度梯度。这些温度误差导致位移误差，所以主动调节子镜面是十分必要的。大型室外桁架温度梯度所引起的误差将在第9.1.2节中讨论。

3.2.3　副镜的四翼梁设计

为了支承副镜重力，镜筒上方常常采用四翼十字形中心支承结构（如图3.14（a）所示）。这种结构稳定性好，中心遮挡小，易于加工和装配。

经典四翼梁结构中心对称，呈十字形，由薄板形成支承结构。薄片在镜筒轴向即高度方向上尺寸大，在横向即宽度方向上尺寸小。不过这种结构形式抗扭转刚度很小。它的谐振频率为（Cheng，1988）：

这里E是杨氏模量，I是梁的惯性矩，L是梁的长度，J是副镜装置的惯量，r是副镜装置的半径。当望远镜口径增大时，四翼梁叶片长度增加，它的刚度会减少。为了保持同样的谐振频率，四翼梁片的厚度应以口径的5/3次方增长，这对望远镜的中心遮挡十分不利。一种改进的方法是加上预应力，加有预应力的四翼梁结构的谐振频率为（Bely，2003）：

式中f0是没有预应力时的谐振频率，P是预应力，PEuler是梁的欧拉极限。然而通过增加预应力来实现谐振频率的增加，效果十分有限。

为了解决这个问题，新四翼梁设计均采用偏置结构，即相对的两片支承梁会错开一个小的距离，而两对支承梁因相互错开所形成的力矩正好相互抵消（图3.17（a））。这种新偏置结构有极大的抗扭转刚度。计算表明当四翼梁偏置角为1.13度，则结构的谐振频率就会增大百分之四十。在极端情况下，偏置角可以达到45度（图3.17（b））。

四翼梁设计中为了支承副镜重力，每一片梁均是由上下两个叶片构成一组垂直于镜筒轴线的A字形桁架。当副镜机构重心正好通过四翼梁中心线时，上下两叶片大小将完全相同，这时副镜不产生偏斜。而当副镜机构的重心不通过四翼梁中心线时，上下两个叶片的截面积应该通过计算获得，以保证副镜不产生偏斜，这时偏向重心一侧的叶片将具有较大横截面积。

除了四翼梁结构的改进外，一些望远镜还将支持四翼梁的大副镜圆环改为正方形结构（图3.14（b）），这样副镜支承的大正方形外圈与四翼梁的叶片正好组成四个结构非常稳定的三角形，可以减轻镜筒顶端质量，增加镜筒稳定性。对于特大口径望远镜的副镜支承，需要考虑使用高强度碳纤维复合材料或者应用阻尼防振的措施。

3.2.4　望远镜轴承的设计

中小型光学望远镜均使用滚珠轴承来减小传动系统的摩擦系数。滚珠轴承的摩擦系数一般在0.001到0.003之间。如果望远镜光束不通过高度轴承，高度轴承口径小，摩擦力矩小，可以使用滚珠轴承。高度轴承可以安置在镜筒中心块内，两个轴承的中心线平分镜筒上下桁架的四个支点。由于高度轴会弯曲，高度轴承要采用滚柱或滚珠调心轴承，这种轴承会自动调心，允许一定的轴承孔准直误差，允许轴和轴座的变形。高度轴承对望远镜的稳定指向十分重要。合理设计的高度轴和轴座之间可以不使用焊接，而在端部采用螺钉通过法兰板连接。高度轴可以设计成空心管形，这种高度轴在自身重力下会弯曲，不利于轴承的安装。为了克服这一问题，在轴承安装之前应该在轴管法兰板的外侧安装一个平衡重使高度轴受到一个反力矩而保持轴管的水平方向。

高度轴承的径向跳动是望远镜镜筒位置不稳定的主要因素。一般大口径轴承在径向均有一定间隙，这种径向间隙由于镜筒重力会大大增加，消除这种间隙的方法是对高度轴承施加预应力。没有预应力的高度轴承不可能保证望远镜指向的稳定性。预应力的大小应该消除轴承原有间隙和由于镜筒重力所产生的附加间隙。这种预应力可以利用推挤轴承内锥套的方法来实现。轴承内锥套位于轴承和轴之间，内锥套的上下表面应该有油槽。在施加预应力时，应该同时挤压润滑油，减少摩擦阻力。在轴承安装时可以用手转动轴承最上和最下的两个滚子，最上滚子刚刚可以转动时就是零预应力的情况。在推进内锥套的时候要使用三个千分表测量轴承内圈和轴承端面之间的距离，使内锥套端面和轴承端面始终保持同等距离。

一般情况下高度轴是这样安装的，首先将镜筒放置在地平旋转平台的正上方但高于工作位置15厘米的地方。将高度轴轴承首先安装到镜筒中心块两侧的位置上，轴承的外圈分别用法兰板和油封圈在内外侧定位，同时使轴承内圈处于高度轴中心位置。然后将高度轴头及其支架连同平衡重一起起吊，在起吊中可以用水平仪检测高度轴的水平情况。这时相应的内油封圈应该已经安装在主轴上。当高度轴向轴承圈移动的时候，用直尺检查轴和轴承圈之间的间隙，使其上下左右大致相同。当高度轴管全部进入轴承圈内后，可以将轴承内锥套推压进轴承和轴之间，轴承内锥套内外应该涂抹机油，推压可以借助于小法兰片和固定在主轴头上的螺钉来实现。对于大口径高度轴承，应该在锥套上部注油螺纹口使用高压油泵将润滑油挤压到内锥套上下表面。注入高压油对于轴承预应力有十分重要的作用。内锥套将挤压扩张轴承内圈，当轴承有一定预应力时，用手转动最上和最下的两个滚子，上滚子刚刚可以转动时是轴承零预应力的情况。为了精确确定施加预应力的大小，这时应该安装三个千分表，准确测量法兰片所推进的距离。这个距离可以根据计算求得。施加足够预应力之后，就可以安装轴承的其他零件。在一侧的轴承安装之后就可以在轴承座的下方垫上垫块，松下吊装绳，拆除该侧高度轴的平衡重，将主轴与法兰盘固定起来。同样可以安装另一侧轴承。两侧轴承全部完成以后，就可以进行镜筒和两侧轴座的下降工作。在两侧轴座下降的时候，一般要同时借助于千斤顶和吊车，还要将高度轴的定位销插上，同时在中心块和轴座之间垫上硬木块。

地平轴承中三滚柱轴承具有最好的抗翻转性能（图3.18）。不过大口径的滚珠或者滚柱轴承造价昂贵，摩擦力矩也相当大。一种新的地平方位轴承设计采用一个小口径推力轴承加上一个小口径径向轴承和一个精密加工的大型外圆柱面（图3.19）。小推力轴承和径向轴承位于地平轴的下部，起着定位和承受轴向载荷的作用。而在其上部的大型圆柱面上有几对固定在某一弹性框架上的滚子压迫在大圆柱面外侧，通过滚子的预应力及其转动来实现地平轴承的定位和转动。不过这里所用滚子的预应力是十分重要的，没有这个预应力，这一地平轴承就没有径向刚度。这种新型轴承结构已经用于WIYN和ARC两台3.5米光学望远镜。在一些射电望远镜中，地平方位轴承也采用了类似的结构设计。对于特大口径光学望远镜，由于地平方位轴承的载荷相当大，所以只有采用承载力很大的静压轴承。

静压轴承是在一对平滑表面之间压入油状黏稠液体所构成的，这种油状液体支承载荷，同时起到润滑轴承面的作用。静压轴承的主要优点是：（1）非常小的摩擦系数；（2）轴承润滑面的高刚度；（3）可以承载很大的载荷；（4）静压轴承垫片制造简单；（5）比较滚珠轴承，静压轴承可以允许比较大的尺寸误差。但是静压轴承也有明显缺点。这些缺点是：（1）轴承面刚度要求很高。一般静压轴承只有三四个轴承压垫，支承力集中。不像滚珠轴承有较大的接触面积，载荷分布比较均匀。（2）静压轴承有一套复杂的液压装置。（3）静压轴承会产生较大热量，可能使望远镜结构局部升温。静压轴承单位时间内所产生的热量dQ/dt由下式给出：

式中dV/dt是单位时间通过静压轴承液体的体积，ΔP是静压轴承上所产生的压力差。如果通过轴承的液体流量是8.19 cm3/s，轴承压力差为24.6kg/cm2，则将会产生20瓦热量。（4）润滑液黏度与温度有关。由于静压轴承在运行中会产生较大热量，液体的流量和压力差都有可能发生变化。

静压轴承一般由轴承面和油垫所构成，轴承油垫可以自行准直。这样当轴承面发生移动时油垫仍然可以贴合到轴承面上（图3.20）。这对轴承的长期使用是十分重要的。油垫的自准直性能可以用一个球面形状的底面来实现。有时静压轴承干脆就设计成双层静压油垫以保证轴承垫片的自准直性能。油垫数目一般以所限制的自由度来决定，但有时为了增加油垫的静压力，也采取增加油垫数目的方法，这时油垫数目可能超过其所限制的自由度的数目。静压轴承的油垫通常用较软的青铜材料作为内衬。这主要是因为一旦油垫与轴承面直接接触可以避免十分昂贵的轴承面的损坏。

在静压轴承设计中润滑油的黏度或黏滞率是一个很重要的概念。与固体受到剪切时一样，油的黏度与固体的剪切弹性模量相当。在剪切过程中剪切变形δ可以表示为Fh/（AG），F是剪切力，h是变形块的高度，A是剪切面积，而G就是剪切弹性模量。而在流体剪切的情况下流体某一表面相对另一表面的速度U可以表示为Fh/（Aμ），式中μ就是液体或气体的黏度，其单位为牛顿秒/平方米，或者叫帕斯卡秒。帕斯卡秒（Pascal-second）又叫做帕易斯（Poise），比较实用的单位是cp（centipoise），它等于千分之一个帕斯卡秒，即1 cp=mPa·s。这里的黏度又称为绝对黏度。绝对黏度与其比重的比叫做动黏度，或者叫动黏滞率。动黏度的单位为平方厘米/秒，又称为斯特克（1 stoke=1 cm2/s）。

一般机油的黏度在100～1000 cp之间。空气黏度则等于170×10－4 cp，它是机油黏度的万分之一上下。黏度随温度变化的程度由黏度指数表示，黏度指数越高，黏度随温度变化就越小。由上面对黏度的定义可以得出静压轴承摩擦力F的公式（Eaton，2000）：

这里U是轴承面的线速度，A为静压轴承的有效面积，h为油膜厚度。静压轴承的油膜厚度和轴承的相对速度无关，它的公式是（Bely，2003）：

式中Q是流量，Δp为轴承间隙中的压力差，l为间隙的长度，b是间隙的宽度。轴承的刚度公式是：

式中W是载荷，h是油膜厚度，β是轴承垫的压力比，即当载荷升高后在低洼区的实际压力和所需要的提升载荷的理论压力之比。当油膜厚度为50微米时，典型的压力比为0.7。另一个重要公式是油压变化的公式，这一公式是：

式中w是流体流动面的宽度，dV/dt是流体的流量。一般通过一些微细管道，或者两个圆柱间的小间隙，或者一个微小的开口来调节流体的压力。在微细管道，两个圆柱间的间隙，或者一个微小开口上流体的压力损耗δP为：

式中L是微细管道长度，R是微细管道半径或者是平均半径，δR是同心圆柱的半径差，γ是流体密度，d是小孔直径。

新的VLT望远镜方位轴承的油膜厚度约为50μm，它的刚度为5 kN/μm。其摩擦力矩仅仅为100～200 N·m。静压轴承摩擦力极小，阻尼小，这对望远镜的控制是不利的。为了增大系统阻尼，5米帕拿马望远镜在极轴北侧轴承上增加了一个小摩擦轮来改善望远镜的阻尼性能。现代光学望远镜可以通过引入电磁场的方法改善其静压轴承的阻尼性能。如果在运动部件中引进一个固定磁场，则在运动部件中的任何金属体内，总会产生一种表面电流，这种表面电流形成的磁场产生反向的阻尼力。

实际应用中，静压轴承油垫有一个凹陷的静压区，静压区的大小应该考虑系统总载荷与液体的压力，即在静压情况下可以使轴承面离开油垫。而边缘凸起的面积在不使用的时候要接触轴承面，则应有较高的精度与平滑度。为了减小温度升高对望远镜运动的影响，一般将油冷却以后再送入望远镜的静压轴承之中。

静压轴承的讨论同样可以应用于对空气轴承的情况，空气轴承的原理与静压轴承完全相同，只是空气黏度极低，而空气轴承的工作压力也是静压轴承的几分之一，所以空气轴承的间隙是静压轴承的15％左右，大约只有10μm大小。空气轴承刚度很高，但是其轴承面的精度要求也很高。同时空气轴承对气流的清洁度有较高的要求。在天文望远镜领域，空气轴承可以用于天文干涉仪中的相位补偿机构，另外在毫米波精密面板加工中，常常要使用空气轴承支承的高速刀具。

3.2.5　望远镜的静态结构分析

3.2.5.1　有限元法简介

望远镜结构分析是望远镜设计的关键。过去结构分析一直依靠传统的解析方法。随着计算机的发展，有限元法已经成为望远镜设计的必须工具。有限元法的基础就是结构的弹性变形理论。在有限元法中一个具体的结构要进行抽象，简化成由一块块小单元组成的模型。这些模型再加上边界条件和外界载荷就可以经过分析得出各个单元所构成模型的变形、应力等情况，从而可以预测具体结构的性能。静态有限元法的核心方程就是：

式中［K］称为刚度矩阵，｛u｝称为位移矩阵，｛F｝称为外力矩阵。这一方程表示在静止状态下总外力与结构变形力相平衡。以图3.21中的杆单元为例，在静态平衡条件下总的合力应该为零，所以F2=－F1。在F1、F2的作用下，杆件产生应变εx，即在x方向上的变形：

式中u1和u2是杆件两端在外力作用下的位移。在材料力学中应力σx和应变εx有下列关系：

式中E就是材料的弹性模量。由应力定义可知在杆两端的应力值为：

综合上述几式，就有：

这就是这一杆件的位移方程：

式中［Ki］称为第i个单元的刚度矩阵。而系统刚度矩阵就是由各个单元矩阵组合而成的。在单一杆件系统的位移方程中如果ui被边界条件所限制，则通过方程可以求出另一个位移值。

对于一个结构，整个结构可以用很多小单元来描写，整个结构模型的刚度矩阵就是各个单元刚度矩阵的结合，当外力加入时就可以获得与单元平衡方程相似的线性方程组。在一般线性的、静态结构分析中有三个重要前提：（1）结构材料均为弹性材料；（2）结构的变形属于小变形以及（3）外力和载荷是缓慢作用在结构上的。目前已经有多种有限元分析软件，他们可以提供不同的单元和载荷，计算出结构的变形、应力或其他结构参数。

随着有限元方法的发展，也可以进行一些非线性的静态结构分析。这些分析包括：a）状态变化，比如一个绳索从松弛状态改变为张紧状态或者从分离到接触。b）几何非线性，比如大变形或者大转动。c）材料非线性，比如应力和应变的非线性或者温度引起的材料性质的变化。

3.2.5.2　望远镜静态结构分析的要求

望远镜的静态结构分析包括主镜和副镜的变形分析，光学元件相对位置的分析。在望远镜静态结构分析中应该十分注意模型的可靠性，在平板模型中，三角形单元板没有考虑板内的应力变化，因此它的刚度要比实际情况要大。另外所有的板模型均只有五个自由度，它们没有在板平面的转动自由度。而所有体模型均只有三个自由度，它们没有节点转动自由度。当一维的杆件与这些二维或三维的模型相连接时，结构相应的刚度就可能产生误差。为了使结构分析更加可信，应用邻近点的线位移来代替所缺少的转动自由度。

在结构分析中轴承的模型十分重要。轴承，特别是大轴承，不但具有轴向刚度，还具有抗翻转刚度。在具体模型上要根据这些参数来决定所用的单元参数。一种轴承模型是将两个轴承圈的结构安置在同一个坐标平面内，然后在两个轴承圈之间用2n个弹簧单元分别在轴向和径向将两圈之间的对应点连接起来。也就是说有n个弹簧单元在轴向，有n个弹簧单元在径向。对于径向载荷，如果轴承的径向刚度是K，则每一个子弹簧的刚度Ki应满足下列方程：

对于大轴承，如果抗翻转的刚度是Km，则每一个子弹簧的轴向刚度Kmi应满足下列方程：

式中d是轴承直径。

当结构中使用了不同膨胀系数的材料时，结构的热分析是十分重要的。结构的热分析包括两种情况，一种是存在温度差情况下的分析，一种是整体温度发生变化时的分析。在结构设计中要注意避免双金属效应。在连接不同膨胀系数材料时，应该考虑在相对尺寸发生变化方向保持一定的自由度。在使用不同面板和衬里材料所组成的三明治构件时，要特别考虑它们的热变形。一般来说，只要是不对称的三明治结构，它们的形状在温度变化时总是不稳定的。这一点将在第九章中进行详细的讨论。

综合模型是结构分析中的重要组成部分。结构和光学的综合分析可以预测光学系统在外力情况下的光学性能。在这个分析中，结构变形要表示为Zernike多项式的形式。然后将这个变形量叠加到原来的光学系统中，再运用光线追迹来确定像斑和光学系统的指向。在大口径拼合镜面的重力变形中，常常存在具有相关性的不断重复的变形图样，这时简单地使用口径面的相位函数进行傅立叶变换来求得点分布函数可能并不能反映真正像的能量分布。这是因为重复的表面面形误差会产生严重的散射或者在像面产生衍射效应。同样，这时表面均方根误差和斯特尔比的简单关系也可能不存在，相比较而言，光线追迹所获得的像斑能量分布要准确些。在结构和光学的综合分析中，如果要估计一些随机误差，比如说位置和尺寸的误差影响，则可以使用蒙特卡罗（Monte Carlo）方法来进行。这时，必须使用随机数的生成器。以0和1为界的随机数和误差范围的乘积提供了可能的随机误差，通过这个误差可以获得系统的光学性能，然后重复这个计算就可以决定系统的性能区域。结构的动态分析将在第3.4.2节中讨论。